Trinôme du second degré

Introduction et sommaire

Nous étudions ici les trinômes du second degré à coefficients réels. Le fait que les coefficients et les racines considérées sont réels sera parfois sous-entendu.

Définition. Soient a non nul, b et c trois réels. On appelle trinôme du second degré en x à coefficients réels l'expression ax 2+bx+c.
Quand elles existent, les solutions réelles de l'équation du second degré (E) : ax 2+bx+c=0 sont appelées racines réelles du trinôme.

On pose T(x)=ax 2+bx+c. Le but de cette étude est la factorisation de ce trinôme T(x) et la résolution de l'équation (E). On s'intéressera aussi au signe de T(x) et à l'interprétation graphique des résultats.

Sommaire

  1. Problème et cas particulier
  2. Forme canonique d'un trinôme
  3. Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels
  4. Interprétation graphique
  5. Signe d'un trinôme
  6. Position d'un nombre par rapport aux racines
  7. Inéquation du second degré

Problème et cas particulier

Problème. Soient a non nul, b et c trois réels. Considérons le trinôme du second degré en x à coefficients réels T(x)=ax 2+bx+c et l'équation (E) ax 2+bx+c=0. Notre but est de résoudre l'équation (E) et de factoriser ce trinôme T(x).

Commençons par résoudre le problème posé dans le cas particulier où b est nul : T(x)=ax 2+c, c'est-à-dire T(x)=a(x 2+ca).

Pour s'exercer :

  1. Résolution du cas particulier
  2. Résolution simple

Forme canonique d'un trinôme

Proposition et définition. Soient a non nul, b et c trois réels. Pour tout réel x, on a l'égalité :

T(x)=ax 2+bx+c=a[(x+b2a) 2(b 24ac4a 2)]

On dit que a[(x+b2a) 2(b 24ac4a 2)] est la forme canonique de T(x).

Avec les notations suivantes : α=b2a et β=b 24ac4a, la forme canonique s'écrit : T(x)=a(xα) 2+β.

On constate que l'on a : β=T(α). L'interprétation géométrique du couple (α,β) est donnée à cette page .

Démonstration.

Comme a n'est pas nul, en s'inspirant de l'identité remarquable : (x+u) 2=x 2+2ux+u 2, on peut écrire :

T(x)=a(x 2+bax+ca)=a[(x+b2a) 2+cab 24a 2]=a[(x+b2a) 2(b 24ac4a 2)]=a(x+b2a) 2(b 24ac4a) .

Pour s'exercer :

  1. Forme canonique
  2. Forme canonique

Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels

Ce théorème présente les résultats de résolution d'une équation du second degré à coefficients réels. Il s'appuie sur la forme canonique et sa factorisation.

Théorème

Soient a, b et c trois réels. On suppose a non nul. Considérons le trinôme du second degré en x à coefficients réels T(x)=ax 2+bx+c et l'équation (E) : ax 2+bx+c=0. On appelle discriminant de T(x) ou de (E) le réel Δ=b 24ac.

Si Delta est strictement négatif, (E) n'a pas de solution réelle. La forme canonique de T(x) est sa forme factorisée.

T(x)=a[(x+b2a) 2Δ4a 2]

Si Delta est nul, posons : r=b2a.
Le trinôme T(x) se factorise ainsi : ax 2+bx+c=a(xr) 2 et (E) admet r comme unique solution réelle.

Si Δ est strictement positif, posons : r 1=b+Δ2a et r 2=bΔ2a.
Le trinôme T(x) se factorise ainsi : ax 2+bx+c=a(xr 1)(xr 2) et (E) admet deux solutions réelles distinctes : r 1 et r 2.

Remarque. Si a et c sont de signe contraires alors Δ est positif.

Démonstration. Avec la notation du discriminant, la forme canonique s'écrit : T(x)=a[(x+b2a) 2(Δ4a 2)] Trois cas se présentent :

Exemples de résolution et exercices

Pour consulter le théorème

Soient a, b et c trois réels. On suppose a non nul. Considérons le trinôme du second degré en x à coefficients réels T(x)=ax 2+bx+c et l'équation (E) : ax 2+bx+c=0. On appelle discriminant de T(x) ou de (E) le réel Δ=b 24ac.

Si Delta est strictement négatif, (E) n'a pas de solution réelle. La forme canonique de T(x) est sa forme factorisée.

T(x)=a[(x+b2a) 2Δ4a 2]

Si Delta est nul, posons : r=b2a.
Le trinôme T(x) se factorise ainsi : ax 2+bx+c=a(xr) 2 et (E) admet r comme unique solution réelle.

Si Δ est strictement positif, posons : r 1=b+Δ2a et r 2=bΔ2a.
Le trinôme T(x) se factorise ainsi : ax 2+bx+c=a(xr 1)(xr 2) et (E) admet deux solutions réelles distinctes : r 1 et r 2.

Exemple 1. Résoudre l'équation =0.
Le discriminant vaut 9. L'équation a deux solutions : r 1=4 et r 2=1. La forme factorisée du trinôme est ()().

Consultez les exemples à solution cachée :

Remarque. Si le trinôme est donné sous forme factorisée a(xu)(xv), ses racines sont évidemment u et v.

Exercices.
  1. Trinôme factorisé
  2. Résolution sans \(\Delta\)
  3. Résolution d'une équation du second degré

Exemple 2

Pour consulter le théorème

Soient a, b et c trois réels. On suppose a non nul. Considérons le trinôme du second degré en x à coefficients réels T(x)=ax 2+bx+c et l'équation (E) : ax 2+bx+c=0. On appelle discriminant de T(x) ou de (E) le réel Δ=b 24ac.

Si Delta est strictement négatif, (E) n'a pas de solution réelle. La forme canonique de T(x) est sa forme factorisée.

T(x)=a[(x+b2a) 2Δ4a 2]

Si Delta est nul, posons : r=b2a.
Le trinôme T(x) se factorise ainsi : ax 2+bx+c=a(xr) 2 et (E) admet r comme unique solution réelle.

Si Δ est strictement positif, posons : r 1=b+Δ2a et r 2=bΔ2a.
Le trinôme T(x) se factorise ainsi : ax 2+bx+c=a(xr 1)(xr 2) et (E) admet deux solutions réelles distinctes : r 1 et r 2.

Résoudre l'équation =0.


Solution

Exemple 3

Pour consulter le théorème

Soient a, b et c trois réels. On suppose a non nul. Considérons le trinôme du second degré en x à coefficients réels T(x)=ax 2+bx+c et l'équation (E) : ax 2+bx+c=0. On appelle discriminant de T(x) ou de (E) le réel Δ=b 24ac.

Si Delta est strictement négatif, (E) n'a pas de solution réelle. La forme canonique de T(x) est sa forme factorisée.

T(x)=a[(x+b2a) 2Δ4a 2]

Si Delta est nul, posons : r=b2a.
Le trinôme T(x) se factorise ainsi : ax 2+bx+c=a(xr) 2 et (E) admet r comme unique solution réelle.

Si Δ est strictement positif, posons : r 1=b+Δ2a et r 2=bΔ2a.
Le trinôme T(x) se factorise ainsi : ax 2+bx+c=a(xr 1)(xr 2) et (E) admet deux solutions réelles distinctes : r 1 et r 2.





Résoudre l'équation .

Solution

Exemples de factorisation d'un trinôme

On rappelle le résultat de factorisation du théorème . La factorisation s'obtient aussi directement depuis la forme canonique.
Si r 1 et r 2 sont les racines distinctes ou égales du trinôme T(x)=ax 2+bx+c, celui se factorise ainsi : T(x)=a(xr 1)(xr 2).
Si le trinôme n'a pas de racine, il ne se factorise pas.
Exemple générique. Pour factoriser le trinôme , on calcule ses racines.
Le discriminant vaut 4.
L'équation a deux solutions : r 1=3 et r 2=1.
On obtient la factorisation suivante : =.

Exemples simples. Parfois la factorisation est immédiate sans calcul du discriminant :

Pour s'exercer :

  1. Factorisation simple
  2. Factorisation

Somme et produit des racines

Cette page n'est pas au programme des terminales mais bien utile pourtant.

Proposition. Soit ax 2+bx+c un trinôme du second degré en x admettant r 1 et r 2 comme racines distinctes ou égales.
Alors on a les égalités suivantes : (r 1+r 2)=ba et (r 1×r 2)=ca.
Les réels r 1 et r 2 sont solutions de x 2Sx+P=0 avec S=r 1+r 2 et P=r 1×r 2.
Démonstration. En développant le second membre de l'égalité : ax 2+bx+c=a(xr 1)(xr 2), on obtient ax 2+bx+c=a[x 2(r 1+r 2)x+r 1×r 2]. Par identification, on en déduit les égalités demandées.
Techniques de vérification.
  1. Pour vérifier que t est solution de ax 2+bx+c=0, on peut calculer at 2+bt+c et constater qu'on obtient 0.
  2. Pour vérifier que u et v sont les deux racines de ax 2+bx+c=0, on calcule la somme S=u+v et on vérifie qu'on obtient S=ba. Si c'est le cas, on calcule P=uv et on vérifie qu'on obtient P=ca.
  3. On remarque que les deux racines sont de même signe si et seulement si P=ca est positif.
Exemple 1. Résoudre l'équation =0.
Le discriminant vaut 4.
L'équation a deux solutions : r 1=1 et r 2=3.
On a bien : ba=4=(r 1+r 2) et ca=3=r 1×r 2.

Exemple 2. Un champ rectangulaire a un périmètre de 1800m et une superficie de 200000m 2. Quelles sont ses dimensions ?
Ses dimensions L et vérifient les égalités suivantes : L+=900 et L=200000. Elles sont donc solution de l'équation : x 2900x+200000=0 dont les solutions sont L=500 et =400.

Pour s'exercer :

  1. Calculer la somme et le produit des racines sans les calculer.
  2. Calculer la somme et le produit des racines sans les calculer.
  3. Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit
  4. Calculer la valeur de résistances

Interprétation graphique

Nous allons donner une interprétation graphique de la forme canonique et du théorème .

En considérant le trinôme sous sa forme canonique ax 2+bx+c=a[(x+b2a) 2Δ4a 2], on voit que la valeur minimale (si a est positif) ou maximale (si a est négatif) de y est obtenue en α=b2a.

Soit une parabole d'équation y=ax 2+bx+c. Posons Δ=b 24ac. Le sommet de la parabole a pour coordonnées (b2a,Δ4a).
Les racines du trinôme sont les abscisses des points d'intersection (s'ils existent) de la parabole et de l'axe des abscisses.

Le graphique présente la parabole d'équation y=. Dans cet exemple, le coefficient a est positif et Delta est égal à 16.
Comme le discriminant est positif, le sommet (point vert) de la parabole, de coordonnées (0,2), est sous la droite y=0. Les solutions de l'équation =0, r 1= et r 2=, sont les abscisses des points d'intersection (en rouge) de la parabole et de la droite y=0.

Le cas a négatif est symétrique par rapport à l'axe des x. Dans ce cas, la parabole est orientée vers le bas. Ce cas est traité dans les figures illustrant l' étude du signe du trinôme .

Pour s'exercer :

  1. Orientation d'une parabole
  2. Allure d'une parabole
  3. Correspondance Parabole - Trinôme
  4. Sommet d'une parabole
  5. Nombre de points d'intersection avec l'axe des \(x\)
  6. Reconnaître l'équation d'une parabole

Signe d'un trinôme

La forme factorisée du trinôme nous permet d'en étudier le signe. Nous présentons dans un tableau le signe de ax 2+bx+c selon la valeur de x.

Δ<0 x
ax 2+bx+c signe de a
Δ=0 x   r  
ax 2+bx+c signe de a 0 signe de a
Δ>0 x   r   r  
ax 2+bx+c signe de a 0 signe de a 0 signe de a

Figure. Voir le signe du trinôme sur un graphique

Pour s'exercer :

  1. Signe d'un trinôme avec un tableau
  2. Tableau de signe à construire
  3. Résolution d'inéquation à l'aide d'un tableau à construire

Illustration graphique pour l'étude du signe du trinôme

Voici un graphique pour illustrer l'étude du signe du trinôme. Les racines du trinôme sont les abscisses des points d'intersection (rouges s'ils existent) de la parabole et de l'axe des abscisses. L'ensemble des x pour lesquels le trinôme est positif (sur la représentation graphique) est dessiné en vert.

Ce graphique présente la parabole d'équation y=. Dans cet exemple, a=2 est positif et Delta est égal à 36.
Comme le discriminant est positif, le trinôme change de signe aux points r 1= et r 2=, solutions de l'équation =0. Il est négatif entre ses deux racines.

Position d'un nombre par rapport aux racines

Cette page n'est pas au programme des terminales. C'est une application presque directe des page précédentes.

Problème. Soient a, b et c trois réels. On suppose a non nul. Considérons le trinôme du second degré en x à coefficients réels T(x)=ax 2+bx+c admettant deux racines r 1 et r 2. On suppose r 1<r 2.
Soit un réel u. Nous cherchons à déterminer la position de u par rapport à r 1 et r 2 sans les calculer.

Etude. D'après l' étude du signe du trinôme , on peut affirmer que u est entre r 1 et r 2 si et seulement si la quantité aT(u) est négative.

Quand aT(u) est positive, il reste à préciser de quel côté des racines se trouve u. Notons S=ba la somme des racines comme ici . Le nombre S2 est le milieu de l'intervalle ]r 1,r 2[. Si la quantité S2u est positive, alors u est inférieur aux racines, sinon u est supérieur aux racines.

Inéquation du second degré

Problème : Soit U(x) et V(x) deux trinômes du second degré. On veut résoudre l'inéquation U(x)>V(x). On note 𝒮 son ensemble de solutions.

Méthode : On pose T(x)=U(x)V(x). L'inéquation U(x)>V(x) est équivalente à l'inéquation T(x)>0. L'ensemble 𝒮 est donc l'ensemble des x pour lesquels T(x) est strictement positif. Pour déterminer 𝒮, il suffit donc d'étudier son signe T(x).

Exemple : Résolvons l'inéquation 3x 23x5>2x 24x+1.
Pour s'exercer :
  1. Résolution d'inéquations
  2. Résolution d'inéquation 1
  3. Résolution d'inéquation 2

résumé sur la méthode de résolution, l'interprétation graphique, l'étude de signe.
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