Vecteurs du plan

Vecteurs du plan


Introduction

Ce document est un résumé (niveau lycée) sur la notion de vecteurs en géométrie élémentaire. Il est destiné à servir d'aide à des exercices de révision sur cette notion.

Avertissement
Ce document est écrit à l'intention d'étudiants entrant dans l'enseignement supérieur. Son contenu est utile pour aborder le cours de physique. Il est aussi pensé comme rappel avant le cours d'algèbre linéaire. C'est pourquoi, on a choisi de distinguer, au moins au départ, les vecteurs géométriques, ceux qu'on dessine précisément dans le plan affine, et les vecteurs abstraits qui sont les classes d'équivalence de vecteurs géométriques. En algèbre linéaire, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel. Il peut être un n-uplet de n, un polynôme, une fonction, une matrice, une suite ...

I Géométrie des vecteurs

II Coordonnées des points et des vecteurs dans un repère cartésien du plan

III Colinéarité, parallélisme

IV Produit scalaire, norme

I Géométrie des vecteurs

Vecteurs du plan → I Géométrie des vecteurs

I-1 Parallélogramme

Vecteurs du planI Géométrie des vecteurs → I-1 Parallélogramme
Voici quelques propriétés des parallélogrammes, essentielles pour l'étude des vecteurs géométriques.

Définition

On dit que le quadrilatère (non aplati) ABCD est un parallélogramme si les droites (AB) et (CD) ainsi que (AD) et (BC) sont parallèles.

Proposition

Le quadrilatère (non aplati) ABCD est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales [AC] et [BD] ont même milieu.

Proposition

Le quadrilatère (non aplati) convexe ABCD est un parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur.
Sur la figure, les points B et C sont mobiles et permettent de changer l'allure du parallélogramme ABCD.
Vecteurs du planI Géométrie des vecteurs → I-1 Parallélogramme

I-2 Vecteur géométrique

Vecteurs du planI Géométrie des vecteurs → I-2 Vecteur géométrique

Définition

A tout couple de points distincts A et B du plan on associe un vecteur géométrique noté AB.
On dit que le vecteur géométrique AB a :
  • pour direction toute droite parallèle à (AB),
  • pour sens le sens de A vers B et
  • pour norme la longueur AB. La norme du vecteur AB se note : AB=AB.
On dit que A est l'origine du vecteur et B l'extrémité du vecteur.
Sur la figure, le vecteur AB a pour direction la direction des droites en pointillées bleues qui sont parallèles.

Remarque

Le vecteur AB caractérise la translation du plan qui amène le point A vers le point B.

Exercice


direction, sens et norme.
Vecteurs du planI Géométrie des vecteurs → I-2 Vecteur géométrique

I-3 Egalité de vecteurs géométriques

Vecteurs du planI Géométrie des vecteurs → I-3 Egalité de vecteurs géométriques

I-3-1 Egalité entre vecteurs

Définition

  • Si les points A, B et C ne sont pas alignés, on dit que les vecteurs géométriques AC et BD sont égaux si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
  • Si les points A, B et C sont alignés, on dit que les vecteurs géométriques AC et BD sont égaux s'il existe E et F deux points n'appartenant pas à (AB), tels que les vecteurs AC et EF (resp. BD et EF) soient égaux.

I-3-2 Caractérisation géométrique de deux vecteurs égaux

Vecteurs du planI Géométrie des vecteursI-3 Egalité de vecteurs géométriques → I-3-2 Caractérisation géométrique de deux vecteurs égaux

Définition

Soient deux vecteurs AC et BD de même direction, c'est-à-dire que (AC) et (BD) sont parallèles. On dit que AC et BD ont même sens si C et D se trouvent dans le même demi-plan limité par (AB).

Proposition

Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement s'ils ont même direction, même sens et même norme.

Exercice

Egalité vectorielle
Vecteurs du planI Géométrie des vecteursI-3 Egalité de vecteurs géométriques → I-3-2 Caractérisation géométrique de deux vecteurs égaux

I-4 Vecteur, représentant

Vecteurs du planI Géométrie des vecteurs → I-4 Vecteur, représentant
Tous les vecteurs géométriques égaux sont les représentants d'un même vecteur (abstrait), noté en général par une seule lettre minuscule u.
Si le vecteur u a pour représentant AB, il admet une infinité de représentants : tous les vecteurs AB tels que ABBA soit un parallélogramme. Comme tous ces représentants de u sont égaux, ils ont mêmes direction, sens et norme qui sont, par définition, ceux de u.
Deux vecteurs abstraits u et v sont égaux s'il existe un représentant AB de u et un représentant CD de v tels que AB=CD. De fait, u et v sont égaux s'ils ont mêmes direction, sens et norme.

Remarques

  • On voit ainsi qu'un vecteur n'est pas attaché à une origine. Ce sont ses représentants qui admettent chacun une origine et une extrémité.
  • Par abus, on écrit u=AB pour indiquer que le vecteur u a pour représentant AB.

Définition [Vecteur nul]

Le vecteur nul est noté 0 ; il a pour représentant AA pour tout point A du plan. Le vecteur nul n'a ni direction, ni sens. Sa norme est nulle.
Vecteurs du planI Géométrie des vecteurs → I-4 Vecteur, représentant

I-5 Opérations sur les vecteurs

Vecteurs du planI Géométrie des vecteurs → I-5 Opérations sur les vecteurs

I-5-1 Somme de deux vecteurs

On additionne deux vecteurs en utilisant soit la relation de Chasles, soit la règle du parallélogramme.

Définition [Relation de Chasles]

Pour tous points A, B et C du plan, on a :
AB+BC=AC
Par la relation de Chasles, on additionne les vecteurs en les mettant bout à bout.

Définition [Règle du parallélogramme]

Pour trois points A, B et C du plan, notons D le point tel que ABDC soit un parallélogramme. Alors on a :
AB+AC=AD
Par la règle du parallélogramme, on additionne des vecteurs de même origine.

Remarque


  • Les deux définitions sont compatibles puisque, comme les vecteurs BD et AC sont égaux dans le parallélogramme, le vecteur AD est aussi la somme AB+BD par la relation de Chasles.
  • La somme d'un vecteur u et du vecteur nul est le vecteur u.

Exercices


Relation de Chasles
Somme graphique de deux vecteurs
Relations de Chasles dans des hexagones

I-5-2 Opposé d'un vecteur


Définition [Opposé d'un vecteur]

L'opposé du vecteur u est le vecteur noté u tel que la somme de u et u soit le vecteur nul.
L'opposé du vecteur nul est le vecteur nul : 0=0.

Proposition

  • Pour tous points A et B du plan, on a l'égalité : AB=BA.
  • Si u est un vecteur non nul, son opposé u a même direction et même norme que u, mais son sens est opposé à celui de u.

I-5-3 Multiplication d'un vecteur par un réel

Vecteurs du planI Géométrie des vecteursI-5 Opérations sur les vecteurs → I-5-3 Multiplication d'un vecteur par un réel

Définition [Multiplication d'un vecteur par un réel]

Soit k un réel et u un vecteur du plan. On note ku le vecteur défini comme suit :
  • Pour k=0 ou u=0, on pose : ku=0 ;
  • pour k>0 et u0, le vecteur ku a la même direction que u, le même sens que u et sa norme vérifie : ku=k×u ;
  • pour k<0 et u0, le vecteur ku a la même direction que u, le sens opposé à u et sa norme vérifie : ku=k×u.

Remarque

On retiendra la formule : ku=k×uk est la valeur absolue de k.
Vecteurs du planI Géométrie des vecteursI-5 Opérations sur les vecteurs → I-5-3 Multiplication d'un vecteur par un réel

I-5-4 Règles du calcul vectoriel


L'addition, la soustraction et la multiplication par un réel de vecteurs suivent les mêmes règles de calcul que dans , sauf que l'on ne multiplie pas et que l'on ne divise pas deux vecteurs entre eux.

Proposition

Pour tous réels k et k, pour tous vecteurs u, v et w, on a :
u+v = v+u ku+kv = k(u+v) u+0 = u ku+ku = (k+k)u u+(u) = uu=0 1.u = u (u+v)+w = u+(v+w) k(ku) = (k×k)u

Remarque

On notera l'égalité (1)u=u.

Exercices


Relation entre trois vecteurs
Produit d'un vecteur par un réel

I-6 Caractérisation vectorielle de points

Vecteurs du planI Géométrie des vecteurs → I-6 Caractérisation vectorielle de points

Proposition

Soit u un vecteur donné du plan et A un point donné du plan. Il existe un unique point M tel que AM=u.

Le vecteur AM est le vecteur géométrique d'origine A représentant de u.

Remarque

Pour construire un point M défini par une égalité vectorielle, on se ramène à une égalité de la forme AM=u , où A est un point connu et u un vecteur connu.

Voici quelques caractérisations de points ou figures remarquables et, pour apprendre à les reconnaître, un exercice :
Caractérisation vectorielle de propriétés géométriques

I-6-1 Milieu d'un segment

I-6-2 Centre de gravité d'un triangle

I-6-3 Parallélogramme

Vecteurs du planI Géométrie des vecteurs → I-6 Caractérisation vectorielle de points

I-6-1 Milieu d'un segment

I-6-2 Centre de gravité d'un triangle

Proposition

Soient A, B et C trois points non alignés du plan. Les points A, B et C sont les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB]. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC (càd le point d'intersection des trois médianes (AA), (BB) et (CC)) si et seulement l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :
  • AG=23AA.
  • BG=23BB.
  • CG=23CC.
  • GA+GB+GC=0.
  • Pour tout point M du plan, MA+MB+MC=3MG.
Sur la figure, quand on déplace les sommets du triangle le rapport AGAA reste égal à 23.

I-6-3 Parallélogramme

II Coordonnées des points et des vecteurs dans un repère cartésien du plan

Vecteurs du plan → II Coordonnées points et vecteurs

II-1 Repère cartésien du plan

Vecteurs du planII Coordonnées points et vecteurs → II-1 Repère cartésien du plan
Une figure est disponible ici .

Définition

On définit un repère cartésien du plan (O;i,j) par la donnée d'un point origine O et de deux vecteurs i et j non nuls et dont les directions ne sont pas parallèles, c'est-à-dire des vecteurs non colinéaires (voir ici ).
Quand les vecteurs i et j ont des directions perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal. Si de plus i et j sont de même norme, on dit que le repère est orthonormal (ou orthonormé).

Remarque

Le couple de vecteurs (i,j) est la base du repère. Quand le repère est orthonormal, on dit que la base (i,j) est orthonormale
Vecteurs du planII Coordonnées points et vecteurs → II-1 Repère cartésien du plan

II-2 Coordonnées cartésiennes

Vecteurs du planII Coordonnées points et vecteurs → II-2 Coordonnées cartésiennes

II-2-1 Coordonnées cartésiennes d'un point

Vecteurs du planII Coordonnées points et vecteursII-2 Coordonnées cartésiennes → II-2-1 Coordonnées cartésiennes d'un point

II-2-2 Coordonnées cartésiennes d'un vecteur

Vecteurs du planII Coordonnées points et vecteursII-2 Coordonnées cartésiennes → II-2-2 Coordonnées cartésiennes d'un vecteur

Théorème

Le plan étant muni du repère (O;i,j), pour tout vecteur u, il existe un unique couple de réels (α,β) tels que : u=αi+βj.
On appelle (α,β), le couple de coordonnées cartésiennes de u. On dit que α est l'abscisse de u et que β est l'ordonnée de u. On note u(α β) ou u(α,β) ; on lit u a pour coordonnées α et β.

Proposition

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.
Un vecteur est nul si et seulement si ses coordonnées sont nulles.
Vecteurs du planII Coordonnées points et vecteursII-2 Coordonnées cartésiennes → II-2-2 Coordonnées cartésiennes d'un vecteur

II-2-3 Exercices

II-3 Règles de calculs sur les coordonnées de vecteurs

Vecteurs du planII Coordonnées points et vecteurs → II-3 Règles de calculs sur les coordonnées de vecteurs

Proposition

Dans le plan muni d'un repère, on considère des vecteurs u(x,y) et u(x,y).
  • La somme u+u des deux vecteurs a pour coordonnées (x+x y+y)
  • Le produit ku du vecteur u par le réel k a pour coordonnées (kx ky)
  • Si a et b sont deux réels, le vecteur au+bu est une combinaison linéaire des vecteurs u et u. Ses coordonnées sont (ax+bx ay+by)

Proposition

Soient deux points A(x A,y a) et B(x b,y b). Le vecteur AB a pour coordonnées cartésiennes (x Bx A y By A).
Vecteurs du planII Coordonnées points et vecteurs → II-3 Règles de calculs sur les coordonnées de vecteurs

II-4 Exemples et exercices

Vecteurs du planII Coordonnées points et vecteurs → II-4 Exemples et exercices

Exercices


Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Somme graphique de deux vecteurs et coordonnées

Exemple [Calculer les coordonnées d'un point défini par une relation vectorielle]

Soient A un point donné et u un vecteur donné. Soit M(x,y) le point du plan défini par la relation AM=u. Pour déterminer les coordonnées de M on résout le système suivant, d'inconnues x et y :
AM=u{xx A=x u yy A=y u{x=x A+x u y=y A+y u

Exercices


Point défini par une origine et un vecteur
Coordonnées d'un point défini par une relation vectorielle
Combinaison linéaire graphique de deux vecteurs
Parallélogramme

Exemple [Milieu d'un segment]


Le point I milieu du segment [AB] a pour coordonnées : (x A+x B2,y A+y B2).

Exemple [Centre de gravité d'un triangle]


Le centre de gravité G d'un triangle ABC a pour coordonnées : (x A+x B+x C3,y A+y B+y C3).
Vecteurs du planII Coordonnées points et vecteurs → II-4 Exemples et exercices

III Colinéarité, parallélisme

Vecteurs du plan → III Colinéarité, parallélisme

III-1 Définitions et propriétés

Vecteurs du planIII Colinéarité → III-1 Définitions et propriétés

Définition [Vecteurs colinéaires]

On dit que deux vecteurs non nuls sont colinéaires s'ils ont la même direction. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

Proposition

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Trois points A, B et C sont alignés si et seulement les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Théorème

Soient u et v deux vecteurs non nuls. Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement il existe un réel k tel que v=ku.
Vecteurs du planIII Colinéarité → III-1 Définitions et propriétés

III-2 Critère de colinéarité sur les coordonnées

Vecteurs du planIII Colinéarité → III-2 Critère de colinéarité sur les coordonnées
Voici le théorème précédent traduit sur les coordonnées :

Théorème

Dans le plan muni du repère (O;i,j), on considère u et u deux vecteurs non nuls de coordonnées respectives (x,y) et (x,y). Les vecteurs u et u sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que x=kx et y=ky.

Le critère de proportionnalité bien connu donne donc le critère de colinéarité suivant :

Théorème [Critère de colinéarité]

Dans le plan muni du repère (O;i,j), on considère u et u deux vecteurs non nuls de coordonnées respectives (x,y) et (x,y). Les vecteurs u et u sont colinéaires si et seulement si on a l'égalité
xyxy=0.

Remarque

Le réel xyxy est le produit en croix des coordonnées, il est aussi appelé déterminant de u et u et noté det(u,u).

Exercices


Critère de colinéarité sur les coordonnées
Calcul d'un paramètre pour colinéarité
Alignement de 3 points
Vecteurs du planIII Colinéarité → III-2 Critère de colinéarité sur les coordonnées

IV Produit scalaire, norme

Vecteurs du plan → IV Produit scalaire, norme

IV-1 Produit scalaire

Vecteurs du planIV Produit scalaire → IV-1 Produit scalaire

Définition

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère deux vecteurs u et u de coordonnées respectives (x,y) et (x,y). On définit leur produit scalaire u.u par :
u.u=xx+yy

La proposition suivante précise les règles de calcul du produit scalaire, elle se démontre par le calcul ; elle signifie que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique.

Proposition


Le produit scalaire est symétrique : Pour tous vecteurs u et u, on a : u.u=u.u. Le produit scalaire est linéaire en chaque variable ; par symétrie, il suffit de l'écrire pour le premier vecteur.
  • Pour tout k, pour tous vecteurs u et u, on a : (ku).u=k(u.u).
  • Pour tous u 1, u 2 et v, on a :
    (u 1+u 2).v=u 1.v+u 2.v

Exercice


Calcul de produit scalaire
Vecteurs du planIV Produit scalaire → IV-1 Produit scalaire

IV-2 Norme

Proposition

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la norme du vecteur u de coordonnées (x,y) est égale à la racine carrée de son carré scalaire u.u et est notée u.
u=x 2+y 2
La bilinéarité du produit scalaire permet de démontrer les formules suivantes dont on notera l'analogie avec des identités remarquables bien connues.

Proposition

Pour tous u et v, on a :
  • u+v 2=u 2+2u.v+v 2
  • uv 2=u 22u.v+v 2

Exercices


Calcul utilisant la bilinéarité
Calcul de norme

IV-3 Angle géométrique de deux vecteurs

Vecteurs du planIV Produit scalaire → IV-3 Angle géométrique de deux vecteurs

Proposition

Soient A, B et C trois points distincts du plan muni d'un repère orthonormé. Le produit scalaire de AB et AC est égal à AB.AC.cos(BAC^).
En particulier, les vecteurs AB et AC sont orthogonaux (voir ici ) si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Exercices


Vecteurs orthogonaux ?
Vecteur normé colinéaire ou orthogonal
Produit scalaire et cosinus
Vecteurs du planIV Produit scalaire → IV-3 Angle géométrique de deux vecteurs

résumé accompagné d'exercices sur les vecteurs en géométrie plane.
: vectors,scalar_product, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, nice sophia antipolis university


Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur de web.

Pour accéder aux services de WIMS, vous avez besoin d'un navigateur qui connait les formes. Afin de tester le navigateur que vous utilisez, veuillez taper le mot wims ici : puis appuyez sur ``Entrer''.

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.

Description: résumé accompagné d'exercices sur les vecteurs en géométrie plane. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, nice sophia antipolis university, geometry, vectors,scalar_product