OEF Calculs de limites avec logarithmes ou exponentielles
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices sur les calculs de limites
en classes de Terminale (ES, S, STI).
Les compétences requises et testées portent sur :
- les limites des fonctions de référence (polynômes, quotient de polynômes,
exp, ln) aux bornes de leurs ensembles respectifs de définition ;
- les règles opératoires sur les limites (théorèmes sur les limites de sommes, produits, quotients, composées) ;
- la détection des formes indéterminées ;
- les propriétés de croissances comparées entre fonctions
polynômes et fonctions exp ou ln.
Les exercices comportent plusieurs étapes successives. Un exercice continue à se dérouler même
si une réponse fausse a été donnée à l'étape précédente. Les réponses justes sont
indiquées après chaque étape, afin de pouvoir continuer correctement les calculs.
Limite de u(x)*exp(kx)
On considère la fonction
définie sur .
Le but de cet exercice est de calculer par étapes les limites de
, en et en respectivement.
- On nomme
la fonction
définie sur .
Donner les limites de
en et en : (
)
=
et
=
- Les limites de
en et en sont :
et
- Donner maintenant les limites de
en et en : (
)
=
et
=
- Les limites de l'exponentielle en et en sont :
et
- Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
=
- Des résultats précédents, et par , on déduit que :
- Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
=
Limite de u(x)*ln(kx)
On considère la fonction
définie sur .
Le but de cet exercice est de calculer par étapes les limites de
, en et en respectivement.
- On nomme
la fonction
définie sur .
Donner les limites de
en et en : (
)
=
et
=
- Les limites de
en et en sont :
et
- Donner maintenant les limites de
en et en : (
)
=
et
=
- Les limites du logarithme en et en sont :
et
- Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
=
- Des résultats précédents, et par , on déduit que :
- Des résultats précédents, on déduit la limite de
en par
=
Limite de k.ln(ax+b) ou k/ln(ax+b)
Soit
la fonction définie sur
par :
.
Le but de cet exercice est de calculer par étapes la limite de
en
.
- La fonction
est de la forme
avec :
=
et
=
- La fonction
est de la forme
avec
et
.
- Donner la limite de
en : (
)
=
- La limite de
en est :
- Donner la limite de
en
)
=
- D'après le cours, on sait que :
- En posant
, par composition de limites, on déduit que : (
)
=
- Par composition, la limite de
en est :
.
- Finalement, par les règles opératoires des limites, on obtient : (
)
=
Limite de k.exp(ax+b) ou k/exp(ax+b)
Soit
la fonction définie sur
par :
.
Le but de cet exercice est de calculer par étapes la limite de
en .
- La fonction
est de la forme
avec :
=
et
=
- La fonction
est de la forme
avec
et
.
- Donner la limite de
en : (
)
=
- La limite de
en est :
- Donner la limite de
en
)
=
- D'après le cours, on sait que :
- En posant
, sachant que
, on déduit que : (
)
=
- La limite de
en est :
.
- Finalement, par les règles opératoires des limites, on obtient que : (
)
=
Croissance comparée : limites de base
Dans cet exercice, on revoit les limites de référence exprimant les croissances comparées entre exponentielle ou logarithme d'une variable et puissances de cette même variable.
- L'affirmation « » est :
- L'affirmation « » est .
L'affirmation juste est : « ».
- Formellement, cela signifie que :
=
Formes indéterminées avec ln ou exp
Soit
la fonction définie sur
par :
.
On a donc
avec, pour tout réel
de
,
et
.
Le but de cet exercice est de calculer la limite de
en .
- Donner la limite de
en :
=
-
Votre réponse était juste!
Attention, votre réponse () n'était pas la bonne!
La limite de
en est :
- Donner la limite de
en :
=
-
Votre réponse était juste!
Hélas, votre réponse () n'était pas bonne !
La limite de
en est :
- Donner la limite de
en
=
-
Votre réponse était juste!
Humm, votre réponse () n'était pas correcte !
En posant
, sachant que
, on déduit que :
=
-
Votre réponse était juste!
Votre réponse () n'était pas correcte !
la limite de
en est :
.
- Peut-on déduire la limite en de
en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
-
Votre réponse était juste!
Votre réponse () était erronée !
Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée.
On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type .
On applique alors les règles de croissance comparée :
"l'exponentielle l'emporte sur les polynômes".
"les polynômes l'emportent sur le logarithme".
On obtient donc :
=
Formes indéterminées avec exponentielle
Soit
la fonction définie sur
par :
.
On a donc
avec, pour tout réel
de
,
et
.
Le but de cet exercice est de calculer la limite de
en .
- Donner la limite de
en :
=
-
Votre réponse était juste!
Attention, votre réponse () n'était pas la bonne!
La limite de
en est :
- Donner la limite de
en :
=
-
Votre réponse était juste!
Hélas, votre réponse () n'était pas bonne !
La limite de
en est :
- Donner la limite de
en
=
-
Votre réponse était juste!
Humm, votre réponse () n'était pas correcte !
En posant
, sachant que
, on déduit que :
=
-
Votre réponse était juste!
Votre réponse () n'était pas correcte !
la limite de
en est :
.
- Peut-on déduire la limite en de
en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
-
Votre réponse était juste!
Votre réponse () était erronée !
Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée.
On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type .
On applique alors les règles de croissance comparée :
"l'exponentielle l'emporte sur les polynômes".
"les polynômes l'emportent sur le logarithme".
On obtient donc :
=
Formes indéterminées avec logarithme
Soit
la fonction définie sur
par :
.
On a donc
avec, pour tout réel
de
,
et
.
Le but de cet exercice est de calculer la limite de
en .
- Donner la limite de
en :
=
-
Votre réponse était juste!
Attention, votre réponse () n'était pas la bonne!
La limite de
en est :
- Donner la limite de
en :
=
-
Votre réponse était juste!
Hélas, votre réponse () n'était pas bonne !
La limite de
en est :
- Donner la limite de
en
=
-
Votre réponse était juste!
Humm, votre réponse () n'était pas correcte !
En posant
, sachant que
, on déduit que :
=
-
Votre réponse était juste!
Votre réponse () n'était pas correcte !
la limite de
en est :
.
- Peut-on déduire la limite en de
en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
-
Votre réponse était juste!
Votre réponse () était erronée !
Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée.
On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type .
On applique alors les règles de croissance comparée :
"l'exponentielle l'emporte sur les polynômes".
"les polynômes l'emportent sur le logarithme".
On obtient donc :
=
Limites de référence (QUIZZ)
Dans cet exercice on exerce le calcul mental sur les limites de référence au programme de Terminale. Il faut répondre rapidement !
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