Estimation statistique --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur quelques estimateurs classiques. Certains exercices peuvent être abordés dans un cours portant sur les probabilités discrètes.

Suivant le niveau de difficulté choisi,

Convergence d'estimateurs

Soit une variable aléatoire dont la loi est définie par le tableau suivant :

Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que .
Lorsque tend vers , la variable aléatoire

converge avec probabilité 1 vers une constante. Quelle est la valeur de cette constante ?

Estimateurs pour un échantillon gaussien

Soit un -échantillon de variables aléatoires de loi normale, d'espérance = et de variance sigma .

On pose

.
Calculer la probabilité que

Estimateurs empiriques

On a répété une expérience aléatoire dans les mêmes conditions fois. Le résultat d'une expérience est décrit par une variable aléatoire à valeurs dans {}. On dispose donc de réalisations de la variable aléatoire .
Le tableau suivant donne le nombre de fois où chaque valeur a été observée au cours de ces expériences :

Déterminer la valeur observée de .

Répartition poissonnienne

On a représenté la position d'abeilles dans un champ de colza en fleur divisé en parcelles de m de côté. Le nombre d'abeilles observées dans chaque parcelle est reporté sur le carré de droite pour plus de clarté.
parallel 0,0,0,,,0,+1,gray parallel 0,0,,0,0,,+1,gray linewidth 2 parallel -0,-0,-0,,,0,+1,gray parallel -0,-0,,0,0,,+1,gray linewidth 2
On modélise le nombre d'abeilles dans chaque parcelle par des variables aléatoires indépendantes et de loi de Poisson de paramètre inconnu.

1- Afin d'obtenir le diagramme en bâtons de la loi empirique de ces observations, compléter le tableau suivant :

Abscisse des bâtons
Hauteurs des bâtons

Bonne réponse! Voici le diagramme de la loi empirique :

2- Quelle est la valeur de l'estimateur empirique de l'espérance de ? Si on estime par la quelle est la valeur de l'estimateur de pour ces observations ?

Fonction de répartition empirique

Le graphe ci-dessous représente la fonction de répartition empirique de observations obtenues en répétant fois la même expérience dans les mêmes conditions.

En déduire le nombre d'observations qui valent .

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