Estimation statistique
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur quelques estimateurs classiques. Certains exercices peuvent être abordés dans un cours portant sur les probabilités discrètes.
Suivant le niveau de difficulté choisi,
- les questions des exercices
"Convergence d'estimateurs" et "Estimateurs pour un échantillon gaussien"
portent sur une classe plus ou moins grande d'estimateurs.
- la formulation de la seconde
question de l'exercice "Répartition poissonnienne" est différente.
Convergence d'estimateurs
Soit
une variable aléatoire dont la loi est définie par le tableau suivant :
Soit
une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que
.
Lorsque
tend vers
, la variable aléatoire
converge avec probabilité 1 vers une constante. Quelle est la valeur de cette constante ?
Estimateurs pour un échantillon gaussien
Soit
un -échantillon de variables aléatoires de loi normale, d'espérance
= et de variance
. On pose
. Calculer la probabilité que
Estimateurs empiriques
On a répété une expérience aléatoire dans les mêmes conditions fois. Le résultat d'une expérience est décrit par une variable aléatoire
à valeurs dans {}. On dispose donc de réalisations de la variable aléatoire
.
Le tableau suivant donne le nombre de fois où chaque valeur a été observée au cours de ces expériences :
Déterminer la valeur observée de .
Répartition poissonnienne
On a représenté la position d'abeilles dans un champ de colza en fleur divisé en parcelles de m de côté. Le nombre d'abeilles observées dans chaque parcelle est reporté sur le carré de droite pour plus de clarté.
parallel 0,0,0,,,0,+1,gray parallel 0,0,,0,0,,+1,gray linewidth 2
parallel -0,-0,-0,,,0,+1,gray parallel -0,-0,,0,0,,+1,gray linewidth 2
On modélise le nombre d'abeilles dans chaque parcelle par des variables aléatoires
indépendantes et de loi de Poisson de paramètre
inconnu. 1- Afin d'obtenir le diagramme en bâtons de la loi empirique de ces observations, compléter le tableau suivant :
Abscisse des bâtons |
|
Hauteurs des bâtons |
|
Bonne réponse! Voici le diagramme de la loi empirique :
2-
Quelle est la valeur de l'estimateur empirique de l'espérance de
?
Si on estime
par la
quelle est la valeur de l'estimateur de
pour ces observations ?
Fonction de répartition empirique
Le graphe ci-dessous représente la fonction de répartition empirique de observations obtenues en répétant fois la même expérience dans les mêmes conditions.
En déduire le nombre d'observations qui valent .
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