OEF Equations aux dérivées partielles
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 3 exercices sur quelques équations aux dérivées partielles.
EDP et série de Fourier
Soit
. On considère l'équation aux dérivées partielles
où
est une fonction de
dans
.
On développe la solution
cherchée en série de Fourier par rapport à
Quelle est l'équation différentielle vérifiée par les fonctions
et
?
On l'écrira en utilisant
pour la fonction, par exemple,
.
Quelle est la solution générale de cette équation qui vaut 1 en 0 ?
Ainsi,
avec
et
des réels. On suppose que la condition initiale est
. Exprimer
et
comme des intégrales :
EDP : équation de la chaleur
On veut déterminer la distribution
des températures d'une tige homogène de longueur
(ainsi, l'abscisse
d'un point de la tige est comprise entre 0 et
). Les conditions imposées aux extrémités sont pour
On admet que
vérifie l'équation aux dérivées partielles
On prolonge la solution
en une fonction sur l'intervalle [
,
] puis par périodicité. Enfin, on développe la solution
cherchée en série de Fourier par rapport à
Quelle est l'équation différentielle vérifiée par les fonctions
(on l'écrira en utilisant
pour la fonction, par exemple,
) ?
Quelle est la solution générale de cette équation qui vaut 1 en 0 ?
Ainsi, pour
compris entre 0 et ,
avec
des réels. Soit
la fonction définie par
pour
. On suppose qu'en
, on a
. Que peut-on dire de l'ordre des
Calculer
et
.
EDP : équation des ondes
Soit
la fonction décrivant le mouvement d'une corde vibrante de longueur
fixée aux extrémités (ainsi, l'abscisse
d'un point de la corde est comprise entre 0 et
) :
On suppose qu'au temps
,
où
est la fonction définie par
entre 0 et . On admet que
vérifie l'équation aux dérivées partielles
En prolongeant la solution
en une fonction impaire sur l'intervalle [- , ], puis par périodicité et en développant la solution
cherchée en série de Fourier par rapport à
, on obtient une expression de la forme
Quelle est l'équation différentielle vérifiée par les fonctions
(on l'écrira en utilisant
pour la fonction, par exemple,
) ?
Si
,
la fonction
vérifie l'équation différentielle du second ordre :
Ainsi, pour
compris entre 0 et ,
avec
des réels. Si
sont les coefficients de Fourier de
dans le développement en sinus, on a
Calculer
,
et
.
Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que
WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur de web.
Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne
sont pas des fichiers
HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE.
Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.
Description: collection d'exercices sur quelques équations aux dérivées partielles. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, nice sophia antipolis university, analysis, partial_derivative, fourier_series