Géométrie du plan

Géométrie du plan

I De la géométrie aux groupes

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes

I-1 Géométrie et géométrie

Géométrie du planI De la géométrie aux groupes → I-1 Géométrie et géométrie
  • La géométrie des triangles, de droites, des figures : Les grecs calculent avec la géométrie (construire le nombre dont le carré est 5, trouver le pgcd de deux nombres).
      Euclide : Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, soit égal au carré du segment restant.
     
    Solution
    Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, soit égal au carré du segment restant.
    Voir la construction

    On prend un segment AB.


    {proof}
    AF 2+EG×GH = FG 2=FB 2
    Or FB 2=FA 2+AB 2 :
    donc EG×GH=AB 2
    et EG×GH=AB 2

    {proof}
      Descartes : Soit AB l'unité et qu'il faille multiplier BD par BC, je n'ai qu'à joindre les points A et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le produit de cette multiplication.
    Ou s'il faut tirer la racine carrée de GH, je lui ajoute en ligne droite FG, qui est l'unité, et en divisant FH en deux parties égales au point K, du centre K, je tire le cercle FIH, puis élevant du point G une ligne droite jusques à I à angles droits sur GH; c'est GI la racine cherchées
     
    Solution
    Construire la racine carrée d'un nombre représenté par un segment.

    voir la construction

    Voici le segment de longueur x. Ou s'il faut tirer la racine carrée de GH,


  • La géométrie analytique ou cartésienne : on repère un point par ses coordonnées (x,y). Une droite a une équation ax+by+c=0, on donne des expressions analytiques pour les transformations.

    Exemple

    Trouver anaytiquement le point d'intersection de la droite passant par A(1,2) et B(0,1) et de la droite d'équation y=2x+1.
     
  • La géométrie devient algèbre : on s'intéresse aux structures, aux transformations plutôt qu'aux objets et à leurs propriétés.
    Ainsi les dessins sont les mêmes du point de vue de leur groupe de symétrie.

I-2 Groupes : Introduction

I-2-1 Exemples de groupes

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-2 Groupes → I-2-1 Exemples de groupes

Commençons par des exemples arithmétiques ou numériques : relatifs, réels ou rationnels :
I-2-1-1 Les nombres Soit K= l'ensemble des nombres relatifs ou K= l'ensemble des nombres rationnels ou K= l'ensemble des nombres réels. Pour tous éléments x, y, z de K
  1. x+yK ;
  2. (x+y)+z=x+(y+z) ;
  3. 0+x=x+0=x ;
  4. il existe un élément xK tel que x+x=x+x=0.
I-2-1-2 Les racines de l'unité Soit n un entier 1. Soit μ n l'ensemble des nombres complexes
z k=e 2ikπ/n=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)
pour k. C'est aussi l'ensemble des nombres complexes z vérifiant z n=1. Il vérifie pour z dans μ n et k et j entiers
  1. z k×z j=z k+j ;
  2. (z k×z j)×z r=z k×(z j×z r) ;
  3. 1×z k=z k×1=z k ;
  4. z k×z k=1.
Autrement dit, pour tous éléments z, z, z de μ n
  1. z×zμ n ;
  2. (z×z)×z=z×(z×z) ;
  3. 1×z=z ;
  4. il existe un élément tμ n tel que z×t=t×z=1.

Exercice

Dessiner μ 4, μ 5, μ 6, μ 7 ... Pour μ 7, prendre z 2=e 4iπ/7 et repérer successivement les produits z×z 2 pour zμ 7 : z=z 0, z=z 1, z=z 2, ...


n=5

Exercice

Racines de l'unité et puissances
Sous-groupe de racines de l'unité
Sous-groupe de racines de l'unité II
Sous-groupe de racines de l'unité III

 

Des manipulations sur trois boules permettent aussi de trouver un groupe :
I-2-1-3 Permutations
(Lire la BD de Stewart : Ah les beaux groupes - les chroniques de Rose Polymath (Belin))
On a trois boules alignées. On peut ne pas changer leur ordre. C'est l'opération identité S 0. On peut changer leur ordre en échangant les deux premières (opération S 1 ), en faisant tourner les trois dernières (opération S 2) et en effectuant ces opérations successivement. Donner le résultat comme un tableau : si une opération nouvelle apparaît, lui donner un nom ( S 3, ...) et la rajouter.  

 
  S 0   S 1   S 2   S 3   S 4   S 5   S 6   ...   
S 0                  
S 1                  
S 2                  
S 3                  
S 4                  
S 5                  
S 6                  
...                   
                  
On appelle ces opérations des permutations de l'ensemble des trois boules.
On note (1 2 3 a b c) la permutation qui transforme 1, 2, 3 en a, b, c. Par exemple, (1 2 3 2 3 1) est la permutation qui transforme 1, 2, 3 en 2, 3, 1.

Exercice

Permutations I
Permutations II
Permutations III

Enfin, voici un exemple de groupe formé d'applications.
I-2-1-4 Applications Soient les applications suivantes définies sur :
f 1:zz   f 4:z   f 7:z
f 2:z1/z   f 5:z   f 8:z
f 3:z1/(z+1)   f 6:z   f 9:z

On peut composer ces applications ; donner le résultat comme un tableau : si une application nouvelle apparaît, lui donner un nom et la rajouter.

 
  f 1   f 2   f 3   f 4   f 5   f 6   f 7
f 1               
f 2               
f 3               
f 4               
f 5               
f 6               
f 7               
Pouvez-vous vous arrêter ?

I-2-2 Groupes : définition

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-2 Groupes → I-2-2 Groupes : définition

Définition

On se donne G un ensemble et une application G×G dans G qu'on va noter * ( on parle de loi, d'opération): (x,y)x*y vérifiant pour tous éléments x, y, z de G
  • loi interne
    x*yG
  • associativité
    (x*y)*z=x*(y*z) ;
  • élément neutre
    il existe un élément e tel que e*z=z*e=z ;
  • inverse
    il existe un élément tG tel que x*t=t*x=e.

L'ensemble G muni de la loi * est appelé un groupe.

Définition

Un groupe G est dit commutatif si pour tous éléments x, y de G
x*y=y*x.

Si G a un nombre fini d'éléments, on représente la loi sous la forme d'un tableau.

Exercice

Prenons G={pair,impair}. Remplissez les deux tableaux selon les règles d'addition et de multiplication. Sont-ils la table d'un groupe ? Si oui, quel est l'élément neutre ?

 pair   impair
pair     
impair     

times 
 pair   impair
pair     
impair     

Exercice

Prenons G={1,1}×{1,1} :
G={(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)}.
On définit (x,y)*(x,y)=(xx,yy). Compléter le tableau en appelant x 1=(1,1), x 2=(1,1), x 3=(1,1), x 4=(1,1).

 
  x 1   x 2   x 3   x 4
x 1         
x 2         
x 3         
x 4         
Est-il commutatif ?

I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-2 Groupes → I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2
Une matrice carrée de taille n est un tableau à n lignes et n colonnes. Nous allons regarder le cas où n=2. Une matrice carrée A de taille 2 s'écrit alors
(a b c d)
a, b, c et d sont les coefficients.
On définit des opérations sur l'ensemble M 2() des matrices d'ordre 2 à coefficients réels :
Addition :
(a b c d)+(a b c d)=(a+a b+b c+c d+d).

Exercice

Démontrer que M 2() muni de cette opération est un groupe commutatif.

 
Multiplication :
(a b c d)×(a b c d)=(aa+bc ab+bd ca+dc cb+dd).

Exercice

Effectuer le produit
(2 3 1 0)(1 1 1 1).

 

Exercice

Produit de matrices Inverse de matrices Équation de matrices

Exercice

Lesquelles des propriétés de groupe sont vérifiées pour l'opération multiplication ? Que faut-il rajouter comme condition pour avoir une opération de groupe ?

 

I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-2 Groupes → I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

Définition

On appelle isométrie une application du plan (ou de l'espace) conservant les distances :
f(B)f(A)=BA.
pour tous points A et B.
On note Is=Is( 2) l'ensemble des isométries du plan.
Quelques exemples dans le plan :
  • l'identité ;
  • les rotations ;
  • les réflexions par rapport à une droite ;
  • les symétries centrales par rapport à un point.
Nous verrons qu'il y en a d'autres (par exemple, les translations, les symétries glissées) et nous les trouverons toutes. Celles qu'on vient d'énumérer ont la propriété de laisser fixe un point du plan.

Exercice [Le rectangle]

Chercher les isométries du type précédent qui conservent un rectangle (quelconque, c'est-à-dire qui n'est pas un carré).

rectangle

 
Suite
Soit G le centre de gravité du rectangle, c'est-à-dire l'intersection des diagonales. On trouve
  1. l'identité
  2. les réflexions par rapport à chacune des médiatrices des côtés D 1, D 2 ;

On peut composer ces transformations. En obtient-on d'autres ?

 
  id   s G   s D 1   s D 2
id         
s G         
s D 1         
s D 2         
Le groupe est-il commutatif ? Comment chacune des ces transformations permutent-elles les sommets A, B, C, D ?

 
 A  B  C  D

id 
       
s G        
s D 1        
s D 2        

On a ainsi défini une application du groupe de symétrie du rectangle dans le groupe des permutations des quatre sommets A, B, C et D.

Exercice [Le triangle équilatéral]

Chercher les isométries du type précédent qui conservent un triangle équilatéral.

triangle equilateral


Suite
Soit G le centre de gravité du triangle. Il doit être fixe (pourquoi ?). On trouve
  1. l'identité
  2. les réflexions par rapport à chacune des médiatrices Δ AB, Δ BC, Δ CA ;
  3. les rotations d'angle 2π/3, 4π/3, et de centre G.

On peut composer ces transformations. En obtient-on d'autres ?

 
  id   r 2π/3   r 4π/3   s Δ AB   s Δ BC   s Δ CA

id 
           
r 2π/3            
r 4π/3            
s Δ AB            
s Δ BC            
s Δ CA            

L'ensemble {id,r 2π/3,r 4π/3,s Δ AB,s Δ BC,s Δ CA} est un groupe. On peut faire quelques remarques sur le tableau une fois rempli : que remarquez-vous sur chaque ligne ou sur chaque colonne ?  
Comment chacune des ces transformations permutent-elles les sommets A, B, C ?

 
 A  B  C

id 
     
r 2π/3      
r 4π/3      
s Δ AB      
s Δ BC      
s Δ CA      
Vérifier qu'on définit ainsi une application du groupe de symétrie du triangle dans le groupe des permutations des trois sommets A, B et C.

Exercice [Autres figures]

I-2-5 Groupe de symétrie : définition

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-2 Groupes → I-2-5 Groupe de symétrie : définition

Définition

Soient F un ensemble de points dans le plan. L'ensemble des isométries conservant F est un groupe et est appelé groupe de symétrie de F ou groupe d'isométries. On le note ici Is(F). Si ce groupe est fini, on appelle ordre le nombre de ses éléments.

Exercice

Dessiner une figure ayant la symétrie du rectangle, du triangle équilatéral (et qui n'en soit pas un), c'est-à-dire telle que son groupe de symétrie soit celui du rectangle ou du triangle équilatéral.

 

Exercice

Trouver le groupe de symétrie des lettres de l'alphabet et écrire son ordre dans le tableau (on ne tiendra pas compte des grosseurs de trait légèrement différentes ...).

  B   C   D   E   F   G   H   I   J   K   L   M

 
                       

  O   P   Q   R   S   T   U   V   W   X   Y   Z

 
                       

I-3 Rappels : Le plan complexe

Géométrie du planI De la géométrie aux groupes → I-3 Rappels : Le plan complexe
Donnons quelques rappels sur le plan complexe et les isométries dans le plan complexe.
  • Un nombre complexe s'écrit z=x+iyx et y sont des réels : x est la partie réelle de z, y est la partie imaginaire de z.
  • Le conjugué z¯ de z=x+iy est xiy.
  • Le module z de z est zz¯=x 2+y 2.
  • Tout nombre complexe de module 1 s'écrit cosθ+isinθ avec θ unique modulo 2π : c'est l'argument de z (on peut par exemple prendre theta entre 0 et 2π). On pose e iθ=cosθ+isinθ.
  • Tout nombre complexe x+iy non nul s'écrit de manière unique z=re iθ avec r>0 et theta l'argument de z. On représente un point du plan par son affixe : (x,y)z=x+iy

I-3-1 Quelques similitudes

I-3-2 Exercices

I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

I-3-1 Quelques similitudes

Soient z A, θ, b, λ *.
  • L'application ,zz A+e iθ(zz A) est une rotation de centre z A (ou A) et d'angle theta :
    zz A=e iθ(zz A)
  • L'application ,zz+b est une translation :
    z=z+b
  • L'application ,zλ(zz A)+z A est une homothétie de centre z A (ou A) et de rapport lambda :
    zz A=λ(zz A)

Représenter chacune de ces transformations.

I-3-2 Exercices


Exercice

Calculer le composé de deux transformations décrites précédemment. Donner leur nature. Trouver à partir de ces résultats des groupes (pour la loi de composition des transformations).
On dit qu'une transformation f conserve les angles si pour tous points A, B, C, les angles de droite (AB,AC)^ et (f(A)f(B),f(A)f(C))^ sont égaux.

Exercice

Soit l'application ,zaz+b avec a et b des complexes. A quelle condition cette transformation est-elle une isométrie, c'est-à-dire conserve-t-elle les distances ? Conserve-t-elle les angles ? Discuter suivant a et b et déterminer sa nature géométrique.

Exercice

Soit l'application ,zaz¯+b avec a et b des complexes. A quelle condition cette transformation est-elle une isométrie, c'est-à-dire conserve-t-elle les distances ? Conserve-t-elle les angles ? Représenter le cas particulier s:zz¯. A quoi correspond la transformation ze iθz¯ ?

Une similitude conserve les rapports de distance : il existe une constante k telle que
f(A)f(B)=kAB.

Exercice

En plaçant bien un triangle équilatéral dans le plan complexe (par exemple, son centre de gravité en 0 et un de ses sommets en 1), expliciter les similitudes complexes qui le laissent invariant.

Exercice

  • Triangle équilatéral
  • Tir de rotation
  • Billard circulaire (1 rebond)
  • Billard circulaire (2 rebonds)
  • Billard elliptique
  • Triangles, rectangles et similitudes
  • Composition de similitudes
  • Figures et similitudes
  • Nature des transformations z -> az+b

Exercice

Composés de symétries centrales

I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

Géométrie du planI De la géométrie aux groupesI-3 Rappels : Le plan complexe → I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

Pour trouver la nature géométrique d'une application du plan complexe de la forme
f:;zaz+b
a et b sont des complexes et pour trouver ses éléments caractéristiques :
  • Si a=1, f(z)=z+b : il s'agit d'une translation de vecteur représenté par b.
  • Si a1, l'équation z=az+b en z a une solution b1a et la transformation f a donc un point fixe A d'affixe z A=b1a. On peut alors écrire
    f(z)z A=a(zz A).
    • Si a est réel, f est une homothétie de rapport a et de centre A.
    • Si a est un nombre complexe de module 1 et d'argument theta modulo 2π, f est une rotation d'angle theta et de centre A.
    • Si a est un complexe de module r et d'argument theta modulo 2π, f est une similitude d'angle theta, de centre A et de rapport r. Dans ce cas, f est le composé d'une homothétie et d'une rotation.

II Géométrie du plan

Géométrie du plan → II Géométrie du plan

II-1 Le plan vectoriel

Géométrie du planII Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel

II-1-1 Définitions et propriétés

Géométrie du planII Géométrie du planII-1 Le plan vectoriel → II-1-1 Définitions et propriétés

Proposition

L'addition dans le plan vectoriel est une loi de groupe commutatif : pour tous vecteurs u, v et w du plan,
  1. (associativité) (u+v)+w=u+(v+w) ;
  2. (élément neutre) u+0=u ;
  3. (opposé) u+(u)=0 ;
  4. (commutativité) u+v=v+u.

La multiplication d'un vecteur par un réel est compatible avec l'addition : pour tous vecteurs u et v du plan et tous réels a et b,
  1. a(bu)=(ab)u ;
  2. (distributivité) (a+b)u=au+bu ;
  3. (distributivité) a(u+v)=au+av ;
  4. (élément absorbant) a0=0u=0 ;
  5. 1u=u

II-1-2 Droites

Définition

Une droite vectorielle est une partie D du plan formée des multiples λu, λ d'un vecteur non nul u. On dit que u est une base de D. Tout autre vecteur non nul appartenant à D en est une base.

Si v=(a,b), alors D={(x,y) 2bxay=0}. On dit que bxay=0 est une équation de la droite D. Si a0, on peut mettre cette équation sous la forme
ybax=0 ou encore y=bax.
Le nombre ba est la pente (coefficient directeur) de la droite. Le vecteur nul appartient à toutes les droites vectorielles.

II-1-3 Indépendance et colinéarité

Géométrie du planII Géométrie du planII-1 Le plan vectoriel → II-1-3 Indépendance et colinéarité

Définition

Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe deux réels lambda et mu tels que (λ,μ)(0,0) et tels que λu+μv=0.

Pour que deux vecteurs soient colinéaires, il faut et il suffit qu'ils appartiennent à la même droite.

Définition

Deux vecteurs u et v sont linéairement indépendants s'ils ne sont pas colinéaires.

Proposition

Soient deux vecteurs v 1=(a 1,b 1) et v 2=(a 2,b 2). Les propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. v 1 et v 2 sont linéairement indépendants ;
  2. a 1b 2a 2b 10 ;
  3. tout vecteur v s'écrit de manière unique v=x 1v 1+x 2v 2 avec x 1 et x 2 dans .
Trouver x 1 et x 2 revient à résoudre un système linéaire.
 

II-1-4 Bases

Définition

Une base de 2 est un couple (e,f) de vecteurs linéairement indépendants. Si v est un vecteur, les réels a et b tels que
v=ae+bf
sont appelés les coordonnées/composantes de v dans la base (e,f).

Par exemple, les composantes de v=(x,y) dans la base (i,j) sont x et y.
Soient (p,q) et (r,s) les composantes de i et j dans la base (e,f). Alors, les composantes du vecteur u=(x,y) dans la base (e,f) sont (X,Y)=(px+ry,qx+sy), c'est-à-dire sous forme matricielle et en colonne :
(X Y)=(p r q s)(x y)=(px+ry qx+sy)

 

Proposition

Soient (e,f) une base du plan vectoriel, u et v deux vecteurs de composantes respectives (X u,Y u) et (X v,Y v) dans la base (e,f).
  1. Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si X uY vX vY u=0.
  2. L'ensemble des vecteurs dont les composantes (X,Y) dans la base (e,f) vérifient aX+bY=0 est une droite vectorielle.
 

Exercice

Changement de base

Exercice

Soit m un nombre réel. On considère les vecteurs e=(1,m+1) et f=(m,6).
  1. A quelle condition sur m le couple (e,f) est-il une base du plan vectoriel ?
  2. Donner les coordonnées (X,Y) du vecteur u dans la base (e,f) en fonction des coordonnées (x,y) dans la base usuelle.

Exercice

  • Trouver l'intersection de 2 droites
  • Trouver l'intersection de 2 droites II
  • Trouver l'intersection de 2 droites II
  • Fonctions linéaires/affines et droites
  • Projections
  • Tir aux vecteurs

II-2 Le plan affine

Géométrie du planII Géométrie du plan → II-2 Le plan affine

II-2-1 Translations

Définition

Soit v=(a,b) un vecteur. On appelle translation de vecteur v l'application de P dans P :
P=(x,y)P+v=(a+x,b+y).
On la note t v.

Remarquons qu'on vient de définir la notation P+vP est un point et v un vecteur.


Proposition

  1. t v est une bijection de P dans P ;
  2. t vt w=t v+w ;
  3. t vt v=t 0=id.
L'ensemble des translations du plan P muni de la composition des applications est un groupe commutatif.
 

Proposition

  1. Pour tout bipoint AB, il existe un unique vecteur v tel que t v(A)=B. On le note aussi AB. On a donc la relation
    B=A+AB.
  2. {Relation de Chasles} Pour tous points A, B, C de P, on a la relation
    AB+BC=AC
  3. Pour tout point A du plan et tout vecteur u, il existe un unique point B tel que AB=u.

La troisième affirmation est la bijectivité de la translation t v.

II-2-2 Repères du plan

Définition

Un repère (affine) du plan est un triplet (A,e,f) formé d'un point du plan affine P et de deux vecteurs (e,f) formant une base du plan vectoriel. Les coordonnées de M dans le repère (A,e,f) sont les composantes du vecteur AM dans la base (e,f).
Ainsi, tout point M de P s'écrit de manière unique A+Xe+Yf et (X,Y) sont les coordonnées de M dans le repère affine (A,e,f).

Exemple

Soit A=(2,1), e=(1,2), f=(1,1). Écrire les coordonnées du point M(x,y) dans le repère (A,e,f).  

Exercice

Changement de repère

II-2-3 Droites affines

Définition

Une droite affine D est une partie du plan affine telle que pour tout AD, l'ensemble des vecteurs AM pour MD soit une droite vectorielle.
Ce qu'on peut dire d'autres manières :
  1. D={A+λu,λ} ;
  2. D est le translaté par le vecteur OA d'une droite vectorielle D 0 de base u ; la droite D 0 est appelée direction de D. La direction D 0 de D est aussi l'ensemble des vecteurs PQ pour P et Q des points de D. Un vecteur directeur de D est une base de la direction D 0 de D.

Définition

Trois points A, B et C du plan affine P sont alignés s'ils appartiennent à une même droite, c'est-à-dire si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

L'ensemble des points alignés avec deux points distincts du plan forme une droite. C'est la droite passant par ces deux points. Toute droite affine D est aussi l'ensemble des points M=(x,y) vérifiant une équation ax+by+c=0. Sa direction est d'équation ax+by=0.

Remarque

On a donc plusieurs manières de se donner une droite et de la représenter. Il est important de savoir passer d'une "représentation à l'autre" et de savoir utiliser la plus adéquate pour résoudre des problèmes. Ainsi, pour se donner une droite, on peut
  1. se donner un point A et un vecteur v non nul ;
  2. se donner deux points distincts A et B ;
  3. écrire l'ensemble des points de la droite comme les points M tels que AM soit colinéaire à v pour un point A et un vecteur v non nul :
    {M 2 tel qu'il existe tAM=tv}
  4. écrire l'ensemble des points de la droite comme les points M barycentres de deux points A et B distincts :
    {M 2 tel qu'il existe tOM=(1t)OA+tOB}
  5. écrire l'ensemble des coordonnées des points de la droite :
    {(x,y) 2 tel qu'il existe t{x = a+tu 1 y = b+tu 2}
  6. donner une relation entre les coordonnées (x,y) vérifiées par les coordonnées des points de la droite et uniquement par eux. Les vecteurs v et AB sont des vecteurs directeurs. Le coefficient directeur (pente) de la droite affine est la pente de sa direction. C'est donc ba si v=(a,b) avec v non nul et infty si v=(a,0).

Exercice

Donner plusieurs manières de représenter la droite passant par les deux points (1,2) et (3,1).

 

II-2-4 Incidence

Définition

Deux droites affines sont parallèles si elles ont même direction.

Proposition


  1. Pour que deux droites D 1 et D 2 soient parallèles, il faut et il suffit qu'il existe une translation T telle que T(D 1)=D 2.
  2. Si D est une droite affine et P un point du plan, il existe une unique droite affine D parallèle à D et passant par P (c'est-à-dire telle que PD) : D est l'image de la direction D 0 de D par la translation de vecteur OP. Si A est un point de D, c'est aussi l'image de D par la translation de vecteur AP.

Définition

Deux droites affines sont sécantes si elles se coupent en un unique point.

Proposition

Deux droites parallèles D et D sont soit disjointes ( DD=), soit confondues ( D=D).

Proposition

Deux droites sont soit parallèles, soit sécantes ( DD={A} avec A un point du plan).

Corollaire

Deux droites D d'équation ax+by+c=0 et D d'équation ax+by+c=0 sont parallèles si abab=0. Elles sont sécantes si et seulement si abab0.

Exercice

  1. Parmi les points suivants, lesquels sont alignés ? A=(1,2), B=(295,317), C=(2,52), D=(1,2), E=(12+1,3+2)
  2. Déterminer l'intersection de (AB) et de (CD).

Exercice

  1. Parmi les droites suivantes, déterminer lesquelles sont parallèles, lesquelles sont concourantes et leurs points d'intersection :
    D 1:3x2y+1=0, D 2:y=4x7, D 3:{x = 4t+4 y = 6t+3,t, D 4:5x+y=20, D 5:2x+741=0
  2. Donner l'équation générale des droites passant par A=(3,5).
  3. Déterminer l'équation de la parallèle à D 2 passant par B=(1,0).

Exercice

Soit lambda un réel non nul.
  1. Donner l'équation de la droite D λ passant par les points A λ=(1/λ,0) et B λ=(0,λ).
  2. Soit M=(x,y) un point du plan. Donner tous les lambda tels que M appartient à D λ.
  3. Décrire λ *D λ.

Exercice

On considère les points A=(0,1), B=(2,2), C=(1,3).
  1. Donner les coordonnées des points D=(3,1) et E=(1,3) dans le repère (A,AB,AC).
  2. Donner une équation dans le repère usuel de la droite Delta d'équation X2Y+5=0 dans le repère (A,AB,AC).

Exercice

Reconnaître rapidement des droites parallèles ou perpendiculaires

II-2-5 Barycentres de points

Géométrie du planII Géométrie du planII-2 Le plan affine → II-2-5 Barycentres de points

Définition

Soient n un entier, A 1, ..., A n n points et a 1, ... , a n des réels tels que a 1+...+a n0. Le barycentre des points pondérés (A 1,a 1), ..., (A n,a n) est l'unique point G du plan tel que
a 1GA 1+...+a nGA n=0.
Si A est un point du plan, il vérifie :
G=A+1a 1+...+a n(a 1AA 1+...+a nAA n)
Les coordonnées du barycentre G s'expriment (avec des notations évidentes)
{x G = a 1x 1+...+a nx na 1+...+a n y G = a 1y 1+...+a ny na 1+...+a n

Le milieu du segment [AB] est l'unique point I tel que AI=12AB. Les coordonnées de A, B et I vérifient
x I=12(x A+x B),y I=12(y A+y B).

Proposition

Si A et B sont deux points distincts, la droite (AB) est l'ensemble des barycentres de A et B.

Exercice

Décrire l'ensemble des points du segment [AB].

 

Proposition [Associativité du barycentre]

Si a 1+a 20 et si A est le barycentre de (A 1,a 1), (A 2,a 2), le barycentre de (A 1,a 1), (A 2,a 2), (A 3,a 3), ..., (A n,a n) est égal au barycentre de (A 1,a 1+a 2), (A 3,a 3), ..., (A n,a n) s'ils existent.

Quand les poids a 1, ..., a n sont tous égaux, on appelle le barycentre l'isobarycentre ou centre de gravité.
Exemple [ Barycentre de deux points ]

Exercice

Placer le barycentre de points

II-2-6 Polygones

Définition

Un triangle est un triplet T=(A,B,C) de points. Si les points A, B, C sont alignés ou confondus, on dit que T est dégénéré.
Supposons T non dégénéré. Les points A, B, C sont les sommets, les droites (AB), (BC), (CD) sont les côtés. Le côté (BC) est opposé à A. Soient P, Q et R les milieux respectifs des côtés opposés à A, B et C. Les droites (AP), (BQ), (CR) sont les médianes du triangle. Elles passent par le centre de gravité G de T.

Définition

Un parallélogramme est un quadruplet (A,B,C,D) de points du plan tel que AB=DC, ou ce qui revient au même AC=BD.
Pour qu'un quadruplet (quadrilatère) soit un parallèlogramme, il faut et il suffit que les segments [AD] et [BC] aient même milieu.

Définition

L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs (une fois normalisé pour que la somme des poids soit positive). Le segment [AB] est l'enveloppe convexe de A et B.

Définition

Une partie C du plan est convexe si pour tous points A et B de C, le segment [AB] est contenu dans C.

Proposition

L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est le plus petit convexe contenant ses points.
 

II-2-7 Exercices

Exercice

Tracer les trois droites d'équation 2x+y=1, 2x+y=1, y=3. Caractériser chacune des régions déterminées par ces droites à l'aide de leurs équations.

Exercice

Soient A, B et C trois points du plan et a, b, c trois réels non nuls tels que les barycentres suivants existent :
G:(A,a),(B,b),(C,c),
G 1:(A,a),(B,b),(C,c),
G 2:(A,a),(B,b),(C,c),
G 3:(A,a),(B,b),(C,c).
  1. Montrer que (AG 1), (BG 2), (CG 3) sont concourantes en G.
  2. Montrer que (G 2G 3), (G 3G 1) et (G 1G 2) passent respectivement par A, B et C.

Solution
  1. Montrons que G est sur la droite (AG 1). Par associativité du barycentre, G est le barycentre de (A,2a), (A,a), (B,b), (C,c) et donc de (A,2a), (G 1,a+b+c). Donc G est sur la droite (AG 1. De même pour les autres.
  2. Soit T le barycentre de (B,b) et (C,c). Alors, G 2 est le barycentre de (A,a) et de (T,b+c), G 3 est le barycentre de (A,a) et de (T,bc). Donc A, G 2 et G 3 sont alignés.

Exercice

Tracer un triangle non dégénéré et les droites prolongeant les côtés du triangle. Caractériser chacune des sept régions obtenus en termes de barycentres des trois sommets du triangle. (On peut commencer par les régions déterminées par une droite.)

Exercice

Régions

Exercice

  • Barycentre de trois points
  • Barycentre et côtés d'un triangle
  • Barycentre : lequel ?

Exercice

  • Tir de gravité I
  • Tir de gravité II
  • Tir de gravité III
  • Coordonnées barycentriques
  • Zones barycentriques
  • Associativité du barycentre

II-3 Le plan affine avancé

Géométrie du planII Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé

II-3-1 Théorème de Thalès

Théorème [Thalès]

Soient A, B, C trois points alignés et B, C deux points alignés avec A tels que AB et AB ne soient pas colinéaires. Alors :
(λ)(AC=λABetAC=λABCC=λBB)


 

Proposition [Conséquence]

Soient A, B et C trois points distincts du plan non alignés. Soient C et B les milieux respectifs de [AB] et de [AC]. Alors, les droites (BC) et (BC) sont parallèles.

Il y a de nombreuses autres formulations du théorème de Thalès, par exemple :

Proposition

Soient A, B, C trois points alignés et B, C deux points alignés avec A tels que A, B, B ne soient pas alignés. Alors, si C est le barycentre de (A,a) et (B,b), C est le barycentre de (A,a) et (B,b) si et seulement si les droites BB et CC sont parallèles.

II-3-2 Théorème de Ceva


Théorème [Ceva]

Soit un triangle (ABC) et A, B et C des points situés respectivement sur les côtés opposés à A, B et C. Les droites (AA), (BB) et (CC) sont concourantes si et seulement si
BA¯AC¯×CB¯BA¯×AC¯CB¯=1.


 
Démonstration

Exemple

Soient A et B deux points. Si C est barycentre de (A,a) et de (B,b), ACCB est égal à ba. Cela fait un pont entre les barycentres et le théorème de Ceva.

Exercice

Barycentre et théorème de Ceva

Théorème [Médianes]

  • Les médianes d'un triangle sont concourantes.
  • Les médianes d'un triangle partagent celui-ci en six petits triangles d'aires égales.
  • Les hauteurs d'un triangle sont concourantes.



 

II-3-3 Théorème de Ménélaüs

Géométrie du planII Géométrie du planII-3 Le plan affine avancé → II-3-3 Théorème de Ménélaüs

Théorème [Ménélaüs]

Soit un triangle (ABC) et A, B et C des points situés respectivement sur les droites (BC), (CA) et (AB). Les points A, B et C sont alignés si et seulement si
BA¯AC¯×CB¯BA¯×AC¯CB¯=1.


II-3-4 Birapport




Rappelons que si A, B sont deux points distincts, le rapport CA¯CB¯ détermine la position d'un point C de la droite (AB) par rapport à A et B.

Définition

Le birapport de quatre points alignés A, B, C, D est le nombre [[A,B,C,D]] égal au rapport de CA¯CB¯ et de DA¯DB¯ :
[[A,B,C,D]]=CA¯CB¯/DA¯DB¯
=CA¯CB¯×DB¯DA¯

Théorème

Soit r le birapport des quatre points alignés A, B, C, D et O un point distinct et non aligné avec les quatre points. Alors
r=S(OCA)S(OCB)/S(ODA)S(ODB)
r=sinCOA^sinCOB^/sinDOA^sinDOB^

birapport


Démonstration
On note Delta la droite sur laquelle se trouve les points A, B, C, D. Soit H le projeté orthognal de O sur la droite Delta.
L'aire du triangle OCA est égale à 12CA×OH.
L'aire du triangle OCB est égale à 12CB×OH.
L'aire du triangle ODA est égale à 12DA×OH.
L'aire du triangle ODB est égale à 12DB×OH.
Ce qui montre facilement la première formule.
Pour la deuxième formule. on calcule l'aire des triangles précédents en choisissant une autre base :
S(OCA)=12OCsin(COA^)
etc, ce qui permet de démontrer la formule au signe près.
Regardons maintenant le signe.
Le point O est d'un côté de la droite ! On choisit une orientation pour tourner autour du point O (le résultat ne dépend pas du choix car il y a 4 termes). Cela donne une orientation de la droite Delta pour laquelle le sinus de MOM^ est positif si et seulement si MM¯ est positif pour deux points M et M de la droite Delta.

birapport


Corollaire

Le nombre
[[A,B,C,D]]
ne dépend que des droites OA, OB, OC et OD et non de la sécante :
[[A,B,C,D]]=[[A,B,C,D]].
On le note aussi
[[OA,OB,OC,OD]].
C'est le birapport des quatre droites.
Soit O un autre point, on a
[[OA,OB,OC,OD]]=[[OA,OB,OC,OD]].

birapport

birapport


Exercice

Sur le birapport de quatre points
Conjugué harmonique

II-3-5 Théorème de Pappus

Théorème [Pappus]

Soient A, B, C trois points alignés situés sur une droite D, Soient A, B, C trois autres points alignés situés sur une autre droite. Les trois points U, V et W définis respectivement comme l'intersection de (BC) et de (CB), l'intersection de (CA) et de (AC) et l'intersection de (AB) et de (BA) sont alignés.


 

Démonstration

Figure interactive (JSXGraph)



II-3-6 Théorème de Desargues

Géométrie du planII Géométrie du planII-3 Le plan affine avancé → II-3-6 Théorème de Desargues

Théorème [Desargues]

Soient (AB), (AB), (AB) trois droites concourantes. Si (AA) et (BB) sont sécantes en C, si (AA) et (BB) sont sécantes en C, (AA) et (BB) sont sécantes en C, alors C, C et C sont alignés.

 
Une autre formulation est :

Théorème

Si les droites joignant les sommets homologues de deux triangles sont concourantes, les points d'intersection de leurs côtés homologus sont alignés et réciproquement.
Le théorème de Desargues est en fait un théorème dans l'espace que l'on peut projeter sur un plan.
Ce fait est bien mis en évidence par l'applet suivante : Le point 1 (boule rouge) est l'intersection de trois droites concourantes de l'espace. Les triangles "homologues" sont les triangles 2, 3, 4 (boules violettes) et 5, 6, 7 (boules bleues). Les droites des côtés du triangle violet sont dans le plan P violet de ce triangle et coupent les droites des côtés du triangle bleu P bleu selon l'intersection des deux plans qui est une droite (en général : oublions les cas de parallèlisme ...)
Mais pourquoi les droites des côtés homologues se coupent-elles ? Deux droites de l'espace ne se coupent pas en général (même si elles ne sont pas parallèles). Mais ici, ces droites sont dans un même plan : le plan contenant les deux droites concourantes au point rouge et portant respectivement un des deux sommets du côté et le sommet homologue. Et deux droites d'un plan sont sécantes ou parallèles.
conclusion

http://ticewims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=../tmp/robot.1&+cmd=getfile&+special_parm=file_89.spt, http://ticewims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=../tmp/robot.1&+cmd=getfile&+special_parm=file_89.xyz


II-3-7 Exercice : Droite de Newton

Géométrie du planII Géométrie du planII-3 Le plan affine avancé → II-3-7 Exercice : Droite de Newton

Exercice

Soit (ABC) un triangle non dégénéré et D une droite sécante aux côtés du triangle respectivement en C, A et B. Montrer que les milieux I, J, et K de [AA], [BB] et [CC] sont alignés.


Construction



Soient trois points A, B et C non alignés.



II-3-8 Un autre exercice


Faire bouger les points de manière à les placer dans une situation non dégénérée. Que constatez-vous ? Conjecturer le sujet de l'exercice et le démontrer.

II-4 Le plan euclidien

Géométrie du planII Géométrie du plan → II-4 Le plan euclidien

II-4-1 Propriétés du produit scalaire

Géométrie du planII Géométrie du planII-4 Le plan euclidien → II-4-1 Propriétés du produit scalaire

Proposition

Soient u, v et w trois vecteurs et lambda et mu des réels. Le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes :
  • symétrie
    u,v=v,u ;
  • bilinéarité
    λu+μv,w=λu,w+μv,w ;
  • vecteur nul
    u,0=0 ;
  • positivité
    u,v0 ;
  • définie
    u,v=0 si et seulement si u=0.

Théorème [Théorème de Pythagore]

Si u et v sont deux vecteurs orthogonaux, on a
u+v 2=u 2+v 2.

Théorème [Inégalité de Cauchy-Schwarz]

Si u et v sont deux vecteurs, on a
u,vu.v
Il y a égalité si et seulement si u et v sont colinéaires.
 

Proposition

Soient v et w deux vecteurs orthogonaux non nuls. Alors (v,w) forment une base de 2.
 

II-4-2 Bases orthogonales

Définition

Une base orthogonale de 2 est une base formée de deux vecteurs orthogonaux. Elle est dite orthonormée si de plus ceux-ci sont unitaires (c'est-à-dire de norme 1).

La base (i,j) est orthonormée.

Proposition

Si (e 1,e 2) est une base orthonormée et si v=Xe 1+Ye 2, w=Xe 1+Ye 2, alors
v,w=XX+YY

II-4-3 Version affine : la distance

Géométrie du planII Géométrie du planII-4 Le plan euclidien → II-4-3 Version affine : la distance

Définition

Si A et B sont deux points du plan affine P, on appelle distance (euclidienne) de A à B le nombre AB. On la note d(A,B).

Définition

Un repère affine orthonormé (A,e,f) est un repère affine tel que (e,f) est une base orthonormée.

Exercice

Soient A=(2,1), B=(1,1), C=(2,0). Trouver un repère affine orthonormé (A,e,f) tel que que e soit un vecteur directeur de la droite (AB) et tel que la deuxième coordonnée du point C dans ce repère soit positive ou nulle.
 

Exercice

Distances entre pions

Proposition

Soit v=(a,b) un vecteur. L'ensemble des vecteurs orthogonaux à v est une droite vectorielle d'équation ax+by=0. On l'appelle la droite (vectorielle) orthogonale à v.

Définition

  1. Deux droites vectorielles D et D sont orthogonales (ou perpendiculaires) si un vecteur de base de D est orthogonal à un vecteur de base de D.
  2. Deux droites affines D et D sont orthogonales (ou perpendiculaires) si leurs directions sont orthogonales.

Si D est d'équation ax+by=0, la droite vectorielle perpendiculaire à D est d'équation bxay=0.
Si D et D sont perpendiculaires et admettent respectivement comme équation ax+by=0 et ax+by=0, alors aa+bb=0.
Si D a comme vecteur directeur (a,b), la droite vectorielle perpendiculaire à D a comme vecteur directeur (b,a).

Proposition

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à une est perpendiculaire à l'autre.

II-4-4 Distance d'un point à une droite

Géométrie du planII Géométrie du planII-4 Le plan euclidien → II-4-4 Distance d'un point à une droite

Proposition

Soient D une droite affine et M un point du plan. Il existe une unique droite Delta perpendiculaire à D et passant par M. Soient A un point de D et v un vecteur de base de la direction de D. Le point d'intersection H de D et de Delta, appelé projeté orthogonal de M sur D vérifie :
H=A+AM,vv 2v

 

Exercice

La distance de M à un point Q de D est minimale pour le projeté orthogonal H de M sur D : pour tout point Q de D, on a
d(M,Q)d(M,H).

 

Proposition

La distance d'un point A=(x A,y A) à une droite D d'équation ax+by+c=0 est
d(A,D)=ax A+by A+ca 2+b 2.

On définit ainsi une application de P dans P qui à M associe son projeté orthogonal sur D. On l'appelle projection orthogonale sur D.

Exercice

  • Droite orthogonale
  • Distance I
  • Distance II
  • Distance III
  • Distance IV
  • Projection I
  • Projection II

II-4-5 Triangles


Définition

Soit (ABC) un triangle non dégénéré. La hauteur issue du sommet A est la perpendiculaire au côté opposé BC passant par A. Le pied de cette hauteur est le projeté de A sur le côté BC.

Théorème [Pythagore]

Soit (ABC) un triangle rectangle en A, alors
AB 2+AC 2=BC 2.
De plus, si (ABC) est un triangle vérifiant l'égalité précédentes, il est rectangle en A.

Définition

La médiatrice de deux points distincts A et B est l'ensemble des points équidistants de A et B. C'est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le milieu du segment [AB].

Proposition

Les médiatrices d'un triangle non dégénéré sont concourantes.

 

Exercice

Comment calculer la distance de deux droites parallèles ? Utiliser plusieurs représentations des droites (équation cartésienne, équations paramétriques).

 

Exercice

Soit (ABC) un triangle équilatéral de hauteur h. Soit M un point à l'intérieur du triangle.
  1. Montrer que la somme des distances de M aux côtés du triangle est égale à h.
  2. Soient c, a, b les distances de M à chacun des côtés (AB), (BC) et (CA) respectivement. Montrer que M est le barycentre de (A,a), (B,b), (C,c)
On appelle les coordonnées (a,b,c) de M les coordonnées trilinéaires. Elles vérifient a+b+c=h. Tracer tous les points à coordonnées trilinéaires entières d'un triangle de hauteur 5. Combien y en a-t-il ?  
Solution
La somme des aires des trois triangles (AMB), (BMC) et (CMA) est égale à l'aire du triangle équilatéral qui est 12hl si l est la longueur du côté. D'autre part, l'aire de (AMB) est la moitié du produit de la distance de M à AB par l. De même pour les autres triangles. Donc la somme des distances est bien égale à h. Ecrivons P comme barycentre de (A,a 1), (B,b 1), (C,c 1) avec a 1+b 1+c 1=h. En mettant le côté BC centré sur l'axe des x, on a
OM=a 1hOA+w
avec w porté par BC et OA perpendiculaire à BC. Donc, a=a 1hh=a 1. De même pour les deux autres.

Exercice

Coordonnées trilinéaires

II-4-6 Cercles


Définition

Le cercle de centre A et de rayon r est l'ensemble des points dont la distance à A est r.

Définition

Le cercle circonscrit à un triangle non dégénéré est le cercle passant par les sommets du triangle.

Proposition

Les médiatrices d'un triangle sont concourantes au centre du cercle circonscrit d'un triangle.

Proposition

Une droite et un cercle sont soit sécants (si leur intersection est formée de deux points distincts, soit tangents (un seul point d'intersection) soit disjoints.

Proposition

Si M=(x M,y M) est un point du cercle 𝒞 de centre A et de rayon r, il existe une unique tangente à 𝒞 passant par M ; elle a pour équation
(x Mx A)(xx M)+(y My A)(yy M)=0
C'est la perpendiculaire au rayon du cercle passant par M.

Théorème [droite d'Euler]

Le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit d'un triangle non dégénéré sont alignés.

 

II-4-7 Angles

On suppose connues la définition et propriété de base des fonctions trigonométriques. Par exemple,
cos(a+b)=cosacosbsinasinb
Soient u et w deux vecteurs non nuls. On définit l'angle (orienté) (v,w)^ des vecteurs v et w comme le nombre réel theta modulo 2π tel que
v,w=vwcosθ.
Un vecteur unitaire s'écrit v=(cosθ,sinθ)theta est un nombre réel unique modulo 2π, c'est-à-dire unique à l'addition près de 2nπ avec n un entier relatif. On dit que theta est un argument de v.

Théorème [Al-Kachi]

Si (ABC) est un triangle non dégénéré,
BC 2=AB 2+AC 22AB.ACcos(AB,AC^).

Proposition

Soient A et B deux points distincts et theta un angle non nul.
  1. L'ensemble des points M du plan tels que l'angle MA,MB^ soit égal à ±θ est un cercle passant par A et B privé de A et B.
  2. Soient un cercle C de centre C et A, B et M trois points du cercle. Alors,
    (CA,CB^)=2(MA,MB^)

III Isométries du plan

Géométrie du plan → III Isométries du plan

III-1 Des exemples

Géométrie du planIII Isométries du plan → III-1 Des exemples

III-1-1 Les translations

Géométrie du planIII Isométries du planIII-1 Des exemples → III-1-1 Les translations
On les a déjà vu . La translation de vecteur v associe à tout point M du plan le point M tel que MM=v. La composition des deux translations de vecteur u et v est la translation de vecteur u+v. Une translation transforme une droite en une droite parallèle et conserve les angles.
En particulier,
(B 1B 2,A 1A 2)^=(B 1B 2,t(A 1)t(A 2))^.

III-1-2 Les rotations


Soient A un point du plan P et theta un réel.

Définition

On appelle rotation de centre A et d'angle theta l'application qui à un point M associe le point M tel que d(A,M)=d(A,M) et tel que l'angle orienté MAM^=(AM,AM)^ est égal à theta modulo 2π ; l'image de A est A lui-même.

Exercice

On se donne deux points A et A et deux demi-droites D et D d'origine respective A et A de ces points. Construire le centre de la rotation qui envoie D sur D. On pourra se donner deux points B et B sur chacune des deux demi-droites D et D tels que AB=AB. Quelle est la condition sur les demi-droites pour que cette rotation existe ?

Exercice

Construction du centre de rotation
  Soir r=r A,θ une rotation de centre A et d'angle theta.
  • Le point A est fixe et c'est le seul point fixe par r si l'angle de la rotation est non nul.
    Démonstration
    Par définition, d(A,r(A))=d(A,A)=0 donc r(A)=A. D'autre part, si B est un autre point fixe,
    BAB^θ0mod2π.
    Donc l'angle de la rotation est nul.

  • r est une isométrie et (M 1M 2,r(M 1)r(M 2))^θ.
    Démonstration
    On desine et on regarde les triangles AM 1M 2 et Ar(M 1)r(M 2).   Les côtés AM 1 et Ar(M 1) d'une part et AM 2 et Ar(M 2) d'autre part sont égaux par définition de r. On a alors l'égalité d'angles
    M 1AM 2^=M 1Ar(M 1)^+r(M 1)Ar(M 2)^+r(M 2)AM 2^
    θ+r(M 1)Ar(M 2)^θ
    Donc
    M 1AM 2^=r(M 1)Ar(M 2)^

    Les deux triangles AM 1M 2 et AM 1M 2 ont deux côtés égaux et un angle égal, ils sont donc égaux. Donc les troisièmes côtés sont égaux :
    d(r(M 1),r(M 2))=d(M 1,M 2)
    Ce qui prouve que r est une isométrie. Les deux autres angles sont aussi égaux :
    (M 1M 2,r(M 1)r(M 2))^
    =(M 1M 2,Ar(M 1))^+(Ar(M 1),AM 2)^+(AM 2,r(M 1)r(M 2))^
    =M 1Ar(M 1)^+(Ar(M 2),AM 2)^+M 2Ar(M 2)^
    =(Ar(M 2),AM 2)^θ

  • la rotation respecte les angles et l'orientation
    Démonstration
    (M 1M 2,M 3M 4)^=(M 1M 2,r(M 1)r(M 2))^
    +(r(M 1)r(M 2),r(M 3)r(M 4))^+(r(M 3)r(M 4),M 3M 4)^
    =(r(M 1)r(M 2),r(M 3)r(M 4))^

Proposition

L'ensemble des rotations de centre A muni de la loi de composition des applications est un groupe. Le composé d'une rotation et d'une translation est une rotation.

Démonstration
  • Le composé de deux rotations de centre A
    Le composé r=r 1r 2 de deux rotations r 1 et r 2 de centre A et d'angles respectifs θ 1 et θ 2 est une rotation de centre A et d'angle θ 1+θ 2 : en effet
    d(A,r 1(M))=d(A,M), d(A,r 2(M))=d(A,M);
    en prenant M=r 2(M), on obtient
    d(A,r 1r 2(M))=d(A,r 1(r 2(M)))=d(A,r 1(M))=d(A,M)=d(A,M)
    Pour les angles,
    MAr 1r 2(M)^=MAr 2(M)^+r 2(M)Ar 1r 2(M)^
    θ 2+θ 1mod2π.
  • L'inverse d'une rotation
    L'inverse de la rotation de centre A et d'angle theta est la rotation de centre A et d'angle θmod2π.
  • Le composé d'une rotation et d'une translation
    Étudions le composé d'une translation t v et d'une rotation r=r A,θ. Construisons un point fixe géométriquement. Notons-le B.
     
    Le composé de deux isométries est une isométrie, donc on a bien la relation
    d(B,f(M))=d(f(B),f(M))=d(B,M)
    On a d'autre part
    (BM,Bf(M))^=(BM,f(B)f(M))^=(BM,r(B)r((M)))^θ

Proposition

Le composé de deux rotations est soit une rotation, soit une translation.
Ici les rotations n'ont pas forcément le même centre.
Démonstration
Cherchons un point fixe.   On le note B. La relation sur les angles se démontre ensuite toujours de la même manière
   (f(B)f(M),BM)^
   =(r 1(r 2(B))r 1(r 2(M)),r 2(B)r 2(M))^+(r 2(B)r 2(M),BM)^
   θ 1+θ 2

Exercice

Vérifier que
r A,θ=t vr B,θ
avec
v=BAOr B,θ(A)=r B,θ(A)A

Quel est le centre de rotation de t vr B,θ, de r B,θt v ? Comment le construire géométriquement ?  

Remarque

Dans le plan complexe, la rotation est donnée par
,zz=z A+e iθ(zz A).

Prenons d'abord pour A l'origine O. Si z=x+iy et z=x+iy, on obtient
{x = cosθx + sinθy y = sinθx + cosθy
c'est-à-dire
(x y)=(cosθ sinθ sinθ cosθ)(x y)

On vérifie ainsi que la rotation de centre O et d'angle theta est une application linéaire.
Pour A quelconque, on a les formules
(xx A yy A)=(cosθ sinθ sinθ cosθ)(xx A yy B)
c'est-à-dire
(x y)=(cosθ sinθ sinθ cosθ)(x y)+(a b)
avec
(a b)=(x A y A)(cosθ sinθ sinθ cosθ)(x A y A)

Le déterminant de la matrice (cosθ sinθ sinθ cosθ) est égal à cos 2θ+sin 2θ=1.

III-1-3 Les réflexions

Soit D une droite affine du plan P.

Définition

Le symétrique orthogonal d'un point P par rapport à D est le point Q tel que la droite (PQ) soit perpendiculaire à D et tel que l'intersection de (PQ) et de D soit le milieu du segment [PQ]. L'application s D:PP, PQ est appelée réflexion orthogonale ou réflexion axiale ou symétrie orthogonale d'axe D.

Proposition

Les points de la droite D sont invariants par la réflexion s D. Les droites Delta perpendiculaires à D sont globalement invariantes par s D : s D(Δ)=Δ. Une réflexion s transforme les angles en leur opposé :
s(A)s(B)s(C)^=ABC^.

Exercice

Construire l'axe de la réflexion donnée par les images d'un certain nombre de points (à propos, combien de points sont-ils nécessaires pour déterminer une réflexion) ?

 

Remarque

Prenons comme repère affine orthonormé (A,u,v) avec A un point de D, u un vecteur unitaire sur D et v un vecteur unitaire normal à u. La réflexion s D est donnée dans ce repère par
(X Y)=(1 0 0 1)(X Y)

Soit theta l'angle que fait le vecteur u avec le vecteur i. On a donc u=cosθi+sinθj, et on peut prendre v=sinθi+cosθj. Alors la matrice de s D dans le repère (A,i,j) est
(cosθ sinθ sinθ cosθ)(1 0 0 1)(cosθ sinθ sinθ cosθ) 1=(cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ)

Cela peut se voir géométriquement~.   Si a est l'image de i par la réflexion s D, comme l'angle de u porté par D avec i est theta, l'angle que fait i avec son image est 2θ.

 
Le déterminant de (cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ) est (cos 22θ+cos 22θ)=1.

Exercice

La réflexion par rapport à une droite passant par A et de vecteur normal v est donnée par
s D(M)=M2AM,vv,vv.

 

III-1-4 Les symétries glissées

Géométrie du planIII Isométries du planIII-1 Des exemples → III-1-4 Les symétries glissées

Que donne le composé d'une réflexion et d'une translation ?

Définition

Soit D une droite et v un vecteur parallèle à D. On appelle symétrie glissée d'axe de glissage D et de vecteur v le composé de la réflexion s D par la translation de vecteur v.

On a
s Dt v=t vs D

Proposition

Soit v un vecteur quelconque. Soit s D la réflexion par rapport à la droite D et t v la translation de vecteur v.
  • Si v est perpendiculaire à D, s Dt v est une réflexion par rapport à la droite translatée de D par le vecteur v/2
  • Si v n'est pas perpendiculaire à D, posons v=w+v 1 avec w la projection de v sur D et v 1 perpendiculaire à D et soit D 1 la droite translatée de D par le vecteur v/2. Alors, s Dt v est la symétrie glissée d'axe de glissage D 1 et de vecteur w.

Exercice

Axe d'une symétrie glissée

Exemple

continuer
Soient P, Q, P, Q quatre points tels que d(P,Q)=d(P,Q). Il existe une symétrie glissée s telle que s(P)=P et s(Q)=Q.


III-2 Le groupe des isométries

Géométrie du planIII Isométries du plan → III-2 Le groupe des isométries

III-2-1 Structure de groupe


Proposition

L'ensemble des isométries de P forme un groupe que l'on note Is=Is(P). En particulier :
  • le produit (composé) de deux isométries est une isométrie ;
  • une isométrie est une bijection de P dans P, elle admet une application réciproque qui est aussi une isométrie.

Rappel

Une application de P dans P est bijective si
  • f est injective : pour tout AP, BP,
    f(A)=f(B)A=B;
  • f est surjective : pour tout CP, il existe AP tel que f(C)=A.

La chose délicate à montrer est qu'une isométrie f est bijective. Nous pourrons déduire ce fait de considérations d'algèbre linéaire. Mais nous allons ici le faire de manière géométrique.

Démonstration








Remarque

On a montré au passage les propositions suivantes :

Proposition

Une isométrie qui laisse fixe trois points non alignés est l'identité.

Proposition

Toute isométrie peut être écrite comme le composé d'au plus trois réflexions.

III-2-2 Les isométries positives

Géométrie du planIII Isométries du planIII-2 Le groupe des isométries → III-2-2 Les isométries positives

Proposition

Une isométrie conservant l'orientation et ayant un point fixe est une rotation.
Démonstration
Soit f une isométrie laissant fixe un point O et conservant l'orientation. En particulier, f n'est pas une réflexion. Supposons que f n'est pas l'identité.
Soit A un point d'image B distincte de A et r la rotation de centre O envoyant A sur B. Alors g=r 1f laisse fixe O et A et préserve l'orientation.
Si g n'est pas l'identité, prenons M un point non fixe par g. Comme O et A sont à égale distance de M et de f(M), la droite (OA) est la médiatrice de M et f(M). Donc g coïncide avec la réflexion par rapport à la droite (OA) sur trois points, elle lui est donc égale. Comme g conserve l'orientation, ce n'est pas possible. Donc, g est l'identité et f est une rotation.

Le composé de deux rotations est une rotation ou une translation.
Démonstration
Nous l'avons déjà vu, mais donnons-en une démonstration légèrement différente. Soit f le composé de deux rotations. Nous avons montré par construction que soit f a un point fixe, soit f est une translation. Si elle a un point fixe, comme elle conserve l'orientation, f est une rotation.

III-2-3 Liste des isométries du plan

Géométrie du planIII Isométries du planIII-2 Le groupe des isométries → III-2-3 Liste des isométries du plan

Proposition

Toute isométrie est d'un des types suivants :
  1. translation par un vecteur v ;
  2. rotation d'angle theta de centre un point A ;
  3. réflexion par rapport à une droite D ;
  4. symétrie glissée obtenue en faisant une réflexion par rapport à une droite D, puis en translatant par un vecteur non nul parallèle à D.
Les deux premiers types d'isométrie sont des isométries positives (conservant l'orientation) , les deux derniers sont des isométries négatives.

Démonstration
On sait maintenant que toute isométrie est le composé d'au plus trois réflexions. Qu'obtient-on pratiquement ? On suppose dans la suite que f n'est pas l'identité.
  • f est une réflexion.
  • f=s D 2s D 1 est le composé de deux réflexions par rapport à deux droites D 1 et D 2. Alors, f respecte l'orientation.
    • Les droites D 1 et D 2 sont parallèles
      Alors f est une translation.
      MM=MI+JJ+JM 1=IM 1+IJ+M 1J=2IJ


    • les droites D 1 et D 2 ne sont pas parallèles
      Le point d'intersection A de D 1 et D 2 est fixe par f : f(A)=A. Soit B un point tel que f(B) est différent de B. Soit r la rotation de centre A et envoyant B sur f(B). Alors g=r 1f a deux points fixes A et B.
      Supposons que g ne soit pas l'identité : soit C un point différent de g(C). Alors, (AB) est la médiatrice de [C,g(C)]. Soit s la réflexion par rapport à la droite (AB). Alors, sg est une isométrie laissant fixe trois points. C'est donc l'identité. Mais comme g est une isométrie positive et s une isométrie négative, ce n'est pas possible. Donc, g est l'identité et f=r est une rotation.



  • f=s D 3s D 2s D 1 est le composé de trois réflexions par rapport à trois droites D 1, D 2 et D 3. En particulier, f ne conserve pas l'orientation.
    • Les droites D 1, D 2 et D 3 sont parallèles
      L'isométrie s D 2s D 1 est une translation de vecteur 2v perpendiculaire à la direction des trois droites. Le composé avec s D 3 est encore une réflexion par rapport à la droite D 3 translaté de v


    • Les droites D 1, D 2 sont parallèles
      L'isométrie s D 2s D 1 est une translation de vecteur 2v perpendiculaire à la direction des deux droites D 1 et D 2. Le composé avec s D 3 est une réflexion glissée d'axe de glissage la droite translatée de D 3 par ww est le projeté du vecteur v sur une perpendiculaire à D 3.


    • Les droites D 1, D 3 sont parallèles
      On traite ce cas comme le précédent.
    • Les droites D 2, D 3 sont parallèles
      Idem.
    • Les droites D 1, D 2 et D 3 sont concourantes
      Soit A le point d'intersection de D 1, D 2 et D 3. Le composé s D 2s D 1 est une rotation de centre A que l'on peut écrire comme s D 3s L avec L une droite convenable : plus précisément L est la droite passant par A dont l'angle avec D 3 est égal à l'angle de D 1 avec D 2. On a alors
      s D 3s D 2s D 1=s D 3s D 3s L=s L
      Donc, f est une réflexion.


      L'axe de symétrie passe par A et est la droite des milieux [Mf(M)]. Pendre par exemple pour M un point de D 1.


    • Les droites D 1, D 2 et D 3 ne sont pas concourantes
      Le composé s D 2s D 1 est une rotation de centre le point d'intersection A de D 1 et D 2 et d'angle non nul. On peut l'écrire comme s D 3s L avec D 3 la droite parallèle à D 3 passant par A et L une droite convenable : plus précisément L est la droite passant par A dont l'angle avec D 3 est égal à l'angle de D 1 avec D 2. On a alors
      s D 3s D 2s D 1=s D 3s D 3s L=t vs L
      v est un vecteur perpendiculaire à D 3. Ce vecteur n'est pas perpendiculaire à L car L n'est pas parallèle à D 3. Donc, f est une réflexion glissée.


      L'axe de glissage passe la projection de D 2D 1 sur D 3 et par la projection de D 2D 3 sur D 1. En effet, l'image de D 2D 1 par f est son symétrique par rapport à la droite D 3 et l'axe de glissage passe par le milieu de [Mf(M)]. L'image par f du symétrique de D 3D 2 par rapport à D 1 est D 3D 2.



Remarque

Le composé de trois réflexions est une réflexion si et seulement si les droites sont parallèles ou concourantes. Sinon, c'est une symétrie glissée de vecteur de translation non nul.

III-2-4 Exercices

Exercice

Toute isométrie est le composé d'une isométrie ayant un point fixe et d'une translation.

Exercice

Le composé de deux rotations de centres distincts est une isométrie positive. C'est donc soit une translation, soit une rotation. Trouver géométriquement son centre ou le vecteur de translation.

Exercice

Composé de deux rotations

Exercice

Réflexion axiale et glissée

Exercice

Le composé d'une rotation non triviale et d'une translation est une isométrie positive. C'est une rotation. Trouver géométriquement son centre.

Exercice

Composé d'une rotation et d'une translation

Exercice

Caractériser le composé d'une rotation et d'une réflexion.

Exercice

Composé d'une rotation et d'une réflexion

Exercice

Écrire une rotation comme composé de réflexions.

Exercice

Rotation : composé de réflexions

Exercice

Tracer l'axe du composé de trois réflexions.

Exercice

Produit de trois réflexions

III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire

Géométrie du planIII Isométries du plan → III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire

III-3-1 Matrices orthogonales


Si A est une matrice, la matrice transposée est par définition la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes :
(a bUnknown character263 d) t=(a cUnknown character93 d).

Les matrices des rotations et des réflexions vérifient AA t=A tA=id.

Définition

Une matrice est dite orthogonale si AA t=A tA=id.

Proposition

L'ensemble des matrices orthogonales forme un groupe pour le produit des matrices. On le note O 2().

Proposition

Les propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. A est orthogonale ;
  2. les colonnes de A sont des vecteurs unitaires (deux à deux) orthogonaux ;
  3. l'application linéaire f de matrice A dans la base (i,j) vérifie
    f(u),f(v)=u,v.
L'application linéaire f est dite orthogonale.

Proposition

Le déterminant d'une application linéaire orthogonale est égal à ±1.

Proposition

Les applications linéaires orthogonales de déterminant 1 sont les rotations de 2 (laissant fixe O).

III-3-2 Isométries

Proposition

Soit f une application de P dans P. Alors, il y a équivalence entre les propriétés suivantes :
  1. f est une isométrie fixant l'origine O ;
  2. f préserve le produit scalaire :
    Of(A),Of(B)=OA,OB
  3. f est la multiplication à gauche par une matrice orthogonale : si A=(x A,y A) et B=f(A)=(x B,y B), alors
    (x B y B)=M(x A y A)
    avec MO 2() (application linéaire orthogonale).

III-4 Composé et transformé

Géométrie du planIII Isométries du plan → III-4 Composé et transformé

On peut composer deux isométries mais il y a une opération plus naturelle : transformer une isométrie par une autre.

Définition

Soit g une isométrie. On appelle
  • transformée par g de la translation de vecteur v la translation de vecteur g(v).
  • transformée par g de la rotation de centre A et d'angle theta la rotation de centre g(A) et d'angle theta ;
  • transformée par g de la réflexion orthogonale d'axe D la réflexion orthogonale d'axe g(D) ;

On note f g la transformée de f par g. On parle aussi de conjuguée. Cette opération est beaucoup plus simple que la composée ! Il suffit de transformer les invariants.
Dans Is(P), on peut quand même interpréter la transformée comme un composé :

Proposition

Le transformé de f par g est gfg 1. Ainsi :
  • Soient t une translation de vecteur v et r A,θ la rotation de centre A et d'angle theta. Soit B l'image de A par t v . Alors
    t vr A,θt v=r B,θ
    autrement dit t vr A,θ=r B,θt v.
  • Soient t v la translation de vecteur v et s D la réflexion par rapport à D. Soit D l'image de D par la translation t v. Alors
    t vs Dt v=s D
    autrement dit, t vs D=s Dt v.
  • On note s D la réflexion orthogonale par rapport à la droite D, t v la translation de vecteur v, s A la symétrie centrale par rapport à un point A du plan.
    • si v est parallèle à D,
      s Dt vs D 1=t v
      autrement dit s Dt v=t vs D
    • si v est perpendiculaire à D,
      s Dt vs D 1=t v
      autrement dit s Dt v=t vs D
    • s At vs A 1=t v
      autrement dit s At v=t vs A
Si F est une figure, pour trouver le transformé de F par f g, on commence par prendre l'image réciproque de F par g (on déplace la figure). Puis on applique par f, puis on transforme par g (on la remet en place).
On peut utiliser le fait que le carré d'une réflexion est l'identité pour simplifier les formules.

III-5 Formulaires

Géométrie du planIII Isométries du plan → III-5 Formulaires
On note s D la réflexion orthogonale par rapport à la droite D, t v la translation de vecteur v, s A la symétrie centrale par rapport à un point A du plan.

Exercice

Démontrer les formules suivantes (et faire un dessin)
  1. s As B=t 2BA ;
  2. si D et D sont deux droites parallèles, s Ds D=t 2KH avec KD, HD et (KH) perpendiculaire aux deux droites ;
  3. Si AD, s Ds A=s As D=s ΔDelta est la droite perpendiculaire à D passant par A ;
  4. Si AD, s Ds A=t vs ΔDelta est la droite perpendiculaire à D passant par A, v=2AH et H la projection orthogonale de A sur D.
  5. Si D 1 et D 2 sont des droites affines passant par un point A et theta l'angle orienté de D 1 et de D 2,
    s D 2s D 1=r A,2θ.

Exercice

Soit A un point de P et g une isométrie. On peut écrire de manière unique g sous la forme t vg At v est une translation et où g A est une isométrie laissant fixe le point A. Vérifier que v=Ag(A).

Exercice

Décomposition d'une isométrie
  Pratiquement :
  • Si g est une translation, on prend pour g A l'identité et pour translation la translation g.
  • Si g est une rotation de centre B, on prend pour g A la rotation de centre A et pour translation la translation de vecteur Ag(A).
    Exemple

  • Si g est une réflexion d'axe D, on prend la droite D A parallèle à D et passant par A, g A la réflexion d'axe D A et pour translation la translation de vecteur 2ww=AH est le vecteur perpendiculaire aux droites D et D A avec H sur D.
    Exemple

  • Si g est une réflexion glissée d'axe D et de vecteur v (parallèle à D), on prend la droite D A parallèle à D et passant par A, g A la réflexion d'axe D A et pour translation la translation de vecteur 2w+vw=AH est le vecteur perpendiculaire aux droites D et D A avec H sur D.

III-6 Exercices

Exercice

Soit s la réflexion d'axe la droite d'équation yx=12. Pour chacune des translations t de vecteur (1,1), (1,1), (2,0), soit f l'isométrie composée st. Déterminer la nature de f et ses éléments caractéristiques.

Exercice

Soit r la rotation de centre O et d'angle π/2 et s la réflexion d'axe la droite d'équation x=12. Soit f l'isométrie composée fs. Montrer que f est une réflexion glissée. Préciser l'axe D et le vecteur de translation.

Exercice

  1. Soit A=(1,2) et r la rotation de centre A et d'angle 2π/3. On écrit r comme le composé t vr O d'une translation de vecteur v et d'une rotation de centre O. Quel est l'angle de la rotation r O ? Calculer le vecteur v. Faire de même en écrivant r=r Ot w.
  2. Faire de même avec la rotation de centre B=(0,1) et de d'angle π/4 : r=t vr O
  3. Qu'obtient-on pour rr=t ar O ?
  4. Écrire la rotation r précédente comme composé de deux réflexions.

IV Groupes et groupes d'isométrie

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie

Nous avons des groupes concrets à notre disposition, nous allons revenir aux groupes d'isométries du plan, autrement dit les groupes de symétrie d'un système. Dans ce paragraphe, nous n'étudierons de tels groupes que lorsqu'ils sont finis.
Les groupes que nous venons de rencontrer sont
  1. Is A(P) le groupe des isométries de P laissant fixe A (dans sa version vectorielle, O 2() le groupe des isométries de 2 laissant fixe O) ;
  2. Is A +(P) le groupe des rotations de P laissant fixe A, ou ce qui revient au même le groupe des isométries positives de P laissant fixe A ;
  3. Is(P) le groupe des isométries ;
  4. Is +(P) le groupe des isométries positives de P (rotation-translation) ;
  5. GL 2() le groupe linéaire (le groupe des applications linéaires bijectives de 2) ;
  6. GA(P) le groupe affine des composés de translations et d'applications linéaires (laissant fixe O).
Rappelons maintenant la définition d'un groupe de symétrie.

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie


Nous n'avons pour l'instant donné que la définition d'un groupe. Il est temps d'en faire un peu plus :

IV-2 Sous-groupes et ordre

IV-3 Sous-groupe engendré

IV-4 Groupe cyclique

IV-5 Morphismes de groupes

IV-6 Sous-groupes invariants


Un groupe de symétrie qui est fini fixe toujours un point du plan et on peut complétement déterminer sa structure. C'est ce qu'on va faire dans le paragraphe suivant.

IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis

IV-8 Exercices

IV-9 Coloriages


Un groupe d'isométries qui n'est pas fini n'a pas toujours de points fixes : prenons par exemple le groupe des isométries d'une droite du plan. Pour l'étudier, on introduit la notion de groupe ponctuel (ou groupe vectoriel).

IV-10 Groupe ponctuel

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie

Géométrie du planIV Groupes et groupes d'isométrie → IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie

Définition

Soit F un ensemble de points dans le plan. L'ensemble des isométries conservant F est un groupe et est appelé groupe de symétrie ou groupe d'isométries de F. On le note ici Is(F).

Remarque

Attention, un groupe de symétrie n'est pas formé que de symétries. Il n'est par contre formé que d'isométries (en tout cas, dans notre contexte).

Exercice

Quel est le groupe de symétrie d'un point A ? Quel est le lien entre le groupe de symétrie de A et celui d'un autre point B ?
 

Exercice

Quel est le groupe de symétrie de la droite de direction i (axe des x) ? Quel est le groupe de symétrie de la droite d'équation ax+by=0 ? ax+by=c ?

 
Si F est fini, numérotons ses points A 1,...,A n ou même 1, ..., n. Soit g un élément de Is(F). On peut alors définir la permutation des points de F
(A 1 A 2 ... A n g(A 1) g(A 2) ... g(A 1))

On a ainsi une action de Is(F) sur l'ensemble {A 1,...,A n}.

Définition

Une action d'un groupe G sur un ensemble X est une application G×XX qui vérifie les propriétés suivantes
  • e*x=x pour xX ;
  • (g 1g 2)*x=g 1*(g 2*x) pour xX, g 1X, g 2X.
On dit aussi que G opère sur l'ensemble X.

Exemple

Nous n'avons vu en fait ici que des groupes opérant sur un ensemble. Il s'agit d'une notion très naturelle qu'on utilise sans le savoir:
  • Is(F) opère sur F.
  • Le groupe du carré opère sur l'ensemble S des sommets d'un carré.
  • Le groupe du carré opère aussi sur l'ensemble C des côtés du carré.
  • Le groupe du carré opère sur l'ensemble CS des couples formés d'un côté et d'un de ses sommets. Combien d'éléments l'ensemble CS a-t-il ?

IV-2 Sous-groupes et ordre

Géométrie du planIV Groupes et groupes d'isométrie → IV-2 Sous-groupes et ordre

Définition

Soit G un groupe muni d'une loi *. Un sous-groupe est un sous-ensemble H de G tel que
  1. si x et y appartiennent à H, x*y appartient à H ;
  2. l'élément neutre de G appartient à H ;
  3. si x appartient à H, x 1 appartient à H .
Autrement dit, H muni de la loi * est un groupe.

Exercice

  • L'ensemble des matrices de la forme (1 t 0 1) avec t est un sous-groupe de GL 2().
  • L'ensemble des matrices de la forme (u 0 0 v) avec u * et v * est un sous-groupe de GL 2().

Définition

L'ordre d'un élément g d'un groupe G est le plus petit entier n strictement positif tel que g n=e s'il existe et infty sinon.

Exercice

  • Soient s 1 et s 2 deux réflexions d'axe D 1 et D 2. Quel est l'ordre de s 1 et s 2 ? de leur composé ?
  • Soit r A,θ une rotation d'angle 2π/n et t v une translation. Calculer l'ordre de r A,θt v.
  • Calculer l'ordre de (1 1 1 0), de (cos2πn sin2πn sin2πn cos2πn), de (cos2πn sin2πn sin2πn cos2πn).

Proposition

L'ordre d'un élément d'un groupe fini divise l'ordre du groupe.

IV-3 Sous-groupe engendré

Géométrie du planIV Groupes et groupes d'isométrie → IV-3 Sous-groupe engendré

Définition

Soit U un sous-ensemble d'un groupe G. Le sous-groupe de G engendré par U est le plus petit sous-groupe de G contenant U. On dit aussi que G est engendré par U.

Exercice

Quel est le sous-groupe de Is(P) engendré par toutes les réflexions de P ? par les symétries centrales ?

 

Exercice

Si T est un triangle équilatéral de centre de gravité A, quel est le sous-groupe de Is(T) engendré par la rotation d'angle 2π/3 de centre A ? Par deux de ses réflexions ?
 

Exercice

Si R est un rectangle, donner un ensemble de générateurs de Is(R) (le moins possible). Faire de même pour un carré.
 

Exercice

Étudier le sous-groupe de GL 2() engendré par les matrices (i 0 0 i), (0 1 1 0). Combien a-t-il d'éléments ? Quel ordre ont-ils ? Donner la table de multiplication.

IV-4 Groupe cyclique

Définition

Un groupe cyclique est un groupe engendré par un élément.

Exemple

Le groupe C n engendré par la rotation r de centre A et d'angle 2π/n est un groupe d'ordre n. Compléter la table de groupe pour n=7, pour n=8 :

 
  id   r   r 2   r 3   r 4   r 5   r 6
id               
r               
r 2              
r 3              
r 4              
r 5              
r 6              

 
  id   r   r 2   r 3   r 4   r 5   r 6   r 7
r                
r 2                
r 3                
r 4                
r 5                
r 6                
r 7                

IV-5 Morphismes de groupes

Géométrie du planIV Groupes et groupes d'isométrie → IV-5 Morphismes de groupes

Définition

Un homomorphisme de groupes d'un groupe G 1 dans un groupe G 2 (notés tous deux multiplicativement) est une application f de G 1 dans G 2 telle que
f(g 1g 2)=f(g 1)f(g 2)
pour tous g 1, g 2 dans G 1.
Un isomorphisme de groupes est un homomorphisme de groupes qui est bijectif. On dit alors que les groupes G 1 et G 2 sont isomorphes.

Exercice

Soient A et B deux points de P. Soient Is(A) et Is(B) les groupes de symétrie laissant fixe A et B respectivement. Déterminer explicitement un isomorphisme de Is(A) sur Is(B).

Exemple

Si G agit sur un ensemble X, l'application
GBij(X)
qui à gG associe la bijection de X :
xXgx˙X
est un homomorphisme de groupes.

 

Exercice

Nombre d'isométries

IV-6 Sous-groupes invariants

Géométrie du planIV Groupes et groupes d'isométrie → IV-6 Sous-groupes invariants

Définition

Un sous-groupe normal ou sous-groupe distingué ou sous-groupe invariant H d'un groupe G est un sous-groupe de G tel que
gHg 1=H
pour tout gG.

Exemple

  • Le sous-groupe des rotations Is A +(P) est un sous-groupe distingué du groupe Is A(P), puisque le transformé d'une rotation de centre A par une isométrie laissant fixe A est encore une rotation de centre A.
  • Par contre le transformé d'une rotation de centre A par une translation par un vecteur non nul n'est pas une rotation de centre A. Donc Is A +(P) n'est pas distingué dans Is(P).

Exercice

Pour les groupes GL 2(), GA(P), Is A(P), Is A +(P), Is +(P), Is(P), écrire les relations d'inclusion qui existent entre eux et pour chacune d'entre elles, dire si le plus petit est un sous-groupe distingué du plus gros.

 

Exercice

Soit F une figure (un ensemble de points). Alors gIs(F)g 1=Is(g(F)). Soit G un sous-groupe de symétrie contenant Is(F). Alors, Is(F) est distingué dans G si et seulement si F et g(F) ont même groupe de symétrie pour tout gG.

Trouver le sous-groupe de symétrie de figures

IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis

Géométrie du planIV Groupes et groupes d'isométrie → IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis

Proposition

Soit G un groupe fini du groupe des isométries de P. Il existe un point A de P qui est fixe par tous les éléments de G :
g(A)=AgG.

Démonstration
  • On prend un point B dans le plan et on construit les images de B par tous les éléments de G. Comme G est fini formé de n isométries g 1, ..., g n, on obtient ainsi n points
    B 1=g 1(B),B 2=g 2(B),...,B n=g(B).
    Soit A l'isobarycentre de B 1, ..., B n.
  • Appliquons à A n'importe lequel des éléments g de G. Alors, l'ensemble des gg j est l'ensemble des éléments de G qui se trouvent sur la ligne correspondant à g dans le tableau de la loi, c'est donc en fait exactement tous les g j mais dans un ordre différent. Donc l'isobarycentre des g(B j) est l'isobarycentre des B j c'est-à-dire B.
  • Il reste à voir que l'image par g de A est aussi l'isobarycentre des g(B i). Toute isométrie est le composé d'une translation et d'une isométrie laissant fixe un point. On vérifie que cela est vrai pour deux telles isométries et donc pour leur composé.
  • Donc g(A)=A.

Théorème

Soit G un sous-groupe fini du groupe des isométries laissant fixe un point A. Alors, G est l'un des groupes suivants pour un entier n
  • le sous-groupe de Is +(P) engendré par la rotation de centre A et d'angle 2π/n ;
  • le sous-groupe de Is(P) engendré par la rotation de centre A et d'angle 2π/n et une réflexion axiale d'axe passant par A.

Corollaire

Si le groupe de symétrie G d'une figure est fini, il existe un point du plan A et un entier n tel que G soit
  • soit le sous-groupe de Is +(P) engendré par la rotation de centre A et d'angle 2π/n,
  • soit le sous-groupe de Is(P) engendré par la rotation de centre A et d'angle 2π/n et une réflexion axiale d'axe passant par A (on l'appelle groupe diédral).
Ainsi, si le groupe de symétrie d'une figure est fini et s'il contient une réflexion, c'est un groupe diédral.

IV-8 Exercices

Exercice

Le groupe du deuxième type (groupe diédral D n) est un groupe d'ordre 2n. Construire sa table de groupe pour n=4.

 
  id   r   r 2   r 3   s   sr   sr 2   sr 3
id                
r                
r 2                
r 3                
s                 
sr 2                
sr 3                
sr 4                


 
  id   r   r 2   r 3   r 4   s   sr   sr 2   sr 3   sr 4
id                    
r                    
r 2                    
r 3                    
r 4                    
s                    
sr                    
sr 2                    
sr 3                    
sr 4                    

Exercice

De quel type est le groupe du triangle ? du rectangle ? du losange ? d'un pentagone régulier ?

Exercice


Calcul dans le groupe diédral
Trouver le groupe de symétrie de figures

Exercice

Dessiner un ensemble F dont le groupe d'isométries est formé exactement des rotations d'angle un multiple entier de 2π/5 et de centre un point O.

Exercice

Dessiner un ensemble F dont le groupe d'isométries positives est formé exactement des rotations d'angle un multiple entier de 2π/5 de centre O et dont le groupe des isométries contient une symétrie axiale passant par O. Quel est le nombre d'éléments du groupe d'isométries de F ?

IV-9 Coloriages

IV-9-1 Que colorier

On peut imaginer de colorier ses sommets ou ses côtés. Mais artistiquement, ce n'est pas très satisfaisant. Aussi allons-nous d'abord associer à un sommet ou à un côté un petit triangle ou quadrilatère dont un des sommets est au centre de gravité du polygone.

On trouve n triangles. Le groupe de symétrie de P n est d'ordre 2n. Le stabilisateur d'un sommet, c'est-à-dire le sous-groupe des isométries qui stabilisent (laissent fixe) ce sommet, est formé de l'identité et de la symétrie par rapport à la droite passant par ce sommet et par le centre de P n.
On peut aussi vouloir colorier les couples formés d'un sommet et d'un côté qui le contient. On obtient alors 2n triangles.

Exercice

Prenons un couple (x,y) de sommets ou de côtés. Montrer qu'il existe une isométrie de Is(P n) qui envoie x sur y.

On dit que Is(P n) agit transitivement sur l'ensemble des sommets (ou l'ensemble des côtés).

IV-9-2 Comment colorier

Nous allons colorier ces triangles de manière régulière, ce qui signifie que ce coloriage doit être compatible avec la définition abstraite suivante :

Définition

Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble X, (si x et y sont dans X, y est l'image de x par un élément de G). Un coloriage de X compatible avec G est une famille de sous-ensembles X i de X :
  • formant une partition : la réunion des X i est X et les ensembles X i sont disjoints deux à deux : X iX j= ;
  • tel que pour tout gG et pour tout i, g(X i) est un des X j de la famille.

Voici des exemples de bons coloriages (compatibles au groupe d'isométries du polygone).
et voici des exemples de mauvais coloriages

IV-9-3 Stabilisateur d'une couleur

Géométrie du planIV Groupes et groupes d'isométrieIV-9 Coloriages → IV-9-3 Stabilisateur d'une couleur
Si x est dans X, on note X(x) la "couleur" de x, c'est-à-dire l'ensemble X i auquel appartient x. On peut associer à ce coloriage un sous-groupe de Is(P n) : le stabilisateur d'une couleur, c'est-à-dire, si on prend comme couleur X i, l'ensemble des hIs(P n) tel que h(X i)=X i. On le note Stab(X i).
On a la propriété suivante

Proposition

Soient x 0X i et gIs(P n). Si gx 0 appartient à X i, alors g appartient à Stab(X i).

Démonstration
Puisque x 0 et gx 0 appartiennent à X i, l'intersection X igX i est non vide. Donc par définition d'un coloriage, X i=gX i et g est donc dans le stabilisateur de X i.

En particulier, si gx 0=x 0, c'est-à-dire si g est dans le stabilisateur de x 0, g est dans le stabilisateur de la couleur de x 0 :
Stab(x 0)Stab(X(x 0)).

Choisissons une couleur X 0 et soit H=Stab(X 0) son stabilisateur. Les autres couleurs X i sont de la forme g iX O pour un certain g iIs(P n) et le stabilisateur de X i est
Stab(X i)=g iStab(X 0)g i 1.

IV-9-4 Comment construire les coloriages

Géométrie du planIV Groupes et groupes d'isométrieIV-9 Coloriages → IV-9-4 Comment construire les coloriages

Nous allons donner une méthode de construction de coloriages de X pour X l'ensemble des sommets, ou des côtés, ou des couples sommets/côtés, en partant d'un sous-groupe de Is(P n).
  • Choisissons un élément x 0 de X et un sous-groupe H de Is(P n). D'après ce qu'on vient d'étudier, pour que H puisse être le stabilisateur de la couleur de x, il est nécessaire que H contienne le stabilisateur de x 0 (qui est le sous-groupe engendré par une réflexion dans le cas des sommets ou des côtés et le groupe trivial dans le cas des sommets/côtés). On le suppose donc.
  • Soit X 0=Hx 0. Vérifions que les gX 0 pour gIs(P n) vérifient la propriété des coloriages. Notons les ensembles distincts X i=g iX 0 pour i=1...m. Comme Is(P n) agit transitivement sur X, la réunion des gX 0 est tout X. Il reste à montrer que si gX iX j est non vide, alors gX i=X j. Soit y un élément de gX iX j, on a donc en écrivant tout ce qu'on sait,
    y=gg ih 1x 0=g jh 2x 0
    avec h 1 et h 2 appartenant à H. D'où
    h 2 1g j 1gg ih 1x 0=x 0
    ce qui implique que h 2 1g j 1gg ih 1 appartient au stabilisateur de x 0, donc à H. Donc, h=g j 1gg iH et
    gg iX 0=g jhX 0=g jX 0.
  • Ainsi, les sous-ensembles (gHx 0) pour gIs(P n) forment bien un coloriage de X.

IV-9-5 Exercices

Exercice

Trouver tous les coloriages obtenus ainsi pour un carré, un hexagone, un nonagone. Dans chacun des cas, regarder si le stabilisateur d'une couleur est indépendant de la couleur ou non. Dans le premier cas, quelle propriété de ce sous-groupe en découle-t-il ?

Exercice

Coloriages de polygones

Exercice

Pour récapituler :
  1. On considère un polygone régulier P à 9 côtés. Décrire son groupe de symétrie Is(P) (nom, nombre d'éléments, générateurs, ...)
  2. On trace les triangles dont un sommet est au centre du polygone et tel que le côté opposé à ce sommet soit un demi-côté (allant d'un sommet au milieu des côtés dont il est l'extrémité). Combien y a-t-il de tels triangles ?
  3. Soit r une rotation d'angle 2π/3 et H le sous-groupe qu'il engendre dans Is(P). Dessiner un coloriage de ces triangles construit associé à H. Combien de couleurs faut-il ? Dessiner tous les coloriages à deux ou trois couleurs compatibles avec Is(P) et donner le stabilisateur d'une des couleurs dans chaque cas.

IV-10 Groupe ponctuel

Soit A un point de P, g et g deux isométries. Écrivons-les comme g=t vg A et g=t vg A avec v et v des vecteurs, g A et g A des isométries laissant fixe A. Cette écriture est unique.

Proposition

  1. Comportement par composition : gg=t wg Ag A pour un vecteur w.
  2. Soit G un groupe d'isométries et soit G ponct,A l'ensemble des isométries laissant fixe A obtenues de la manière précédente à partir des éléments de G. Alors, G ponct,A est un groupe.
  3. Si B est un autre point de P et si t la translation de vecteur AB (ainsi, t(A)=B), on a
    G ponct,B=tG ponct,At 1.

 

Exercice

Soit R un rectangle. Soit G=Is(R) son groupe de symétrie. Si A est le point d'intersection de ses diagonales, que vaut G ponct,A ? Si B est un point qui n'est pas le point d'intersection de ses diagonales, que vaut G ponct,B ? Quel est son ordre ?

Attention, il n'y a aucune raison que G ponct,A soit contenu dans G. Un premier exemple de cette situation est le suivant : soit G le groupe engendré par la rotation de centre B et d'angle 2π/5 ; G ponct,A est engendré par la rotation de centre A et d'angle 2π/5. Mais cet exemple est un peu artificiel ...

Définition

Soit G un groupe d'isométries et O un point du plan. Le groupe de symétrie ponctuel ou groupe de symétrie vectoriel est par définition l'ensemble des isométries g O pour gG.

Si l'on peut, on choisit l'origine de manière à simplifier les calculs. Modulo conjugaison, le groupe ponctuel qu'on note abusivement G ponct n'en dépend pas.
Par exemple, si F est une figure dont le groupe d'isométrie est fini, le meilleur choix pour calculer son groupe ponctuel est bien sûr le centre de gravité G de F. Avec ce choix, Is ponct,G(F)=Is(F).

Exercice


Groupe ponctuel d'une frise

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