Algorithme du gradient
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 14 exercices sur l'algorithme
du gradient et l'optimisation de fonctions en grande dimension;
consulter le polycopie situé dans le module
"Aide memoire d'optimisation elementaire".
4 exercises translated in English
gradient fonction quadratique
Calculer dans
la
ième composante du gradient
la dérivée partielle par rapport à
de la fonction
au point x=[],
avec b=[], A=[]
definie positive
Dans
avec la précision
,
la matrice
est-elle défine positive?
la fonction
admet-elle un minimum unique?
avec
et E=[]
Repondre par oui ou non
debug:#### quest=, absdeter=
grad_quad, err_sur_g,5D, unsuralpha
On considère:
,
, avec
la solution la solution du système linéaire
, le point de départ
ou pour copier coller:
A=[];
F=[]; x0=[]; x* =[];
Vous utiliserez, par exemple le programme
pour répondre aux questions suivantes: - Calculez les valeurs propres de A et la plus petite
;
- Réaliser un programme qui calcule 4 itérations de la méthode du gradient à pas optimal
(à partir de
, calculer
avec k=1...4) pour minimiser
; - vous calculerez pour chaque iteration, g'*g , le carré de la norme du gradient; puis
- vous introduirez dans votre programme deux tests de sortie de boucle:
- gag=(g'*A*g)
- if( abs(gag) <= 10^(-10) ) //dans ce cas les gradients suivants sont nuls
- break
- end
- vous calculerez pour chaque iteration:
où
est la valeur approchée de l'iteration courante et la valeur maximale
de cette erreur au cours des itérations
- Vous comparerez
et
et expliquerez par écrit ce dernier résultat.
Debogue [], errsg=
grad_quad, err_on_g, unsuralpha
We consider:
, with
the solution of the linear system
or for copy and paste: A=[]; F=[]; x0=[]; xstar =[];
You use, for example the programm
to answer the following questions : - Compute the eigenvalues of
; give out
, the smallest eigenvalue of
;
- Carry out a programm which compute 4 iterations of the gradient method with optimal step
(starting from
, compute
with k=1...4) to minimize
; - you compute for each iteration, g'*g , the square of the gradient norm; then
(g'*A*g)
- you introduce in your programm 2 tests to get out of the loop:
- gag=g'*Ag
- if( abs(gag) <= 10^(-10) )
- break
- end
- you compute for each iteration:
where
is the approximation oft he current iteration and then the maximal value
of this error during the iterations.
- You comparere
and
and explain in a written paper this last result.
Debug errsg=, A=[] [], errsg=
grad_quad, err_sur_g, unsuralpha
On considère:
, avec
la solution la solution du système linéaire
ou pour copier coller: A=[]; F=[]; x0=[]; xstar =[];
Vous utiliserez, par exemple le programme
pour répondre aux questions suivantes: - Calculez les valeurs propres de A; avec
, la plus petite valeur propre de A;
- Réaliser un programme qui calcule 4 itérations de la méthode du gradient à pas optimal
(à partir de
, calculer
avec k=1...4) pour minimiser
; - vous calculerez pour chaque iteration, g'*g , le carré de la norme du gradient; puis
(g'*A*g)
- vous introduirez dans votre programme deux tests de sortie de boucle:
- gag=g'*Ag
- if( abs(gag) <= 10^(-10) )
- break
- end
- vous calculerez pour chaque iteration:
où
est la valeur approchée de l'iteration courante et la valeur maximale
de cette erreur au cours des itérations
- Vous comparerez
et
et expliquerez par écrit ce dernier résultat.
Debogue errsg=, A=[] [], errsg=
grad_quad, one step 5D, gk, gk+1- gk
We consider:
,
, with
the solution of the linear system
,
or copy and paste:
A=[];
F=[]; x0=[]; xstar =[];
You use such program like \ (Scilab) to answer the following questions: - Make a program that computes 2 iterations of the gradient method with optimal step
to minimize \ (J (x) = x '* A * x / 2-x' * F); - you calculate for each of the 2 iterations, \ (| | g_0 | | ^ 2 | | g_1 | | ^ 2)
the square of the norm of the gradient, with \ (g_k = \ (vector grad J (x_k))) - you enter in your program two tests to get out of do loop:
- gag=g'A*g
- if( abs(gag) <= 10^(-10) )
- / / in this case \ (g1 = 0)
- end
- You will compare \ (| | g_0 | |, | | g_1 | |, | | g_1-g_0 | |) and explain in writing the result.
Debugging
grad_quad, un pas 5D, gk, gk+1- gk
On considère:
,
, avec
la solution la solution du système linéaire
ou pour copier coller:
A=[];
F=[]; x0=[]; xstar =[]
Vous utiliserez, par exemple le programme
pour répondre aux questions suivantes: - Réaliser un programme qui calcule 2 itérations de la méthode du gradient à pas optimal
pour minimiser
; - vous calculerez pour chacune des 2 iterations,
,
le carre de la norme du gradient, avec
, - vous introduirez dans votre programme deux tests de sortie de boucle:
- gag=g'A*g
- if( abs(gag) <= 10^(-10) )
- //dans ce cas
- end
- Vous comparerez
et expliquerez par écrit ce dernier résultat.
Debogue
grad_quad, one step gk, gk+1- gk
We consider:
, with
the solution of the linear system
the initial point ; or for copy and paste:
A=[], F=[], x0=[], xstar =[]
You may use, for example the programm
to answer the following questions : - Produce a programm to compute 2 iterations of the gradient method with optimal step
to minimize
; - for each of the 2 iterations you will compute
,
the square of the gradient norm with
, - you will introduce in your program two tests to get out of the do loop:
- gag=g'*A*g
- if( abs(gag) <= 10^(-10) )
- // in this case
remains at zero
- end
- You will compare
and explain this last result in a written paper.
Debug iter=, itessai=, errsg=
grad_quad, un pas gk, gk+1- gk
On considère:
, avec
la solution la solution du système linéaire
le point initial; ou pour copier coller:
A=[], F=[], x0=[], xstar =[]
Vous utiliserez, par exemple le programme
pour répondre aux questions suivantes: - Réaliser un programme qui calcule 2 itérations de la méthode du gradient à pas optimal
pour minimiser
; - vous calculerez pour chacune des 2 iterations,
,
le carre de la norme du gradient avec
, - vous introduirez dans votre programme deux tests de sortie de boucle:
- gag=g'*A*g
- if( abs(gag) <= 10^(-10) )
- // dans ce cas
est laisse a zero
- end
- Vous comparerez
et expliquerez par écrit ce dernier résultat.
Debogue iter=, itessai=, errsg=
min f quad pos def or not
In
with precision
,
is the matrix
positive definite?
Does the function function
admits a unique minimum ?
with
where E=[] and b=[];
Answer with yes or no
solve the linear sytem AX=b and provide
; in case of non unicity answer 3.333 for the component de
Compute the point x where the minimum of J is reached and provide
; in case of non unicity answer 3.333 for the component dof
debug:#### quest=, absdeter=,
min f quad def pos ou pas
Dans
avec la précision
,
la matrice
est-elle défine positive?
la fonction
admet-elle un minimum unique?
avec
et E=[] avec b=[];
Repondre par oui ou non
Résoudre le sytème linéaire AX=b et fournir
; en cas de non unicité répondre 3.3 à la composante de
Calculer le point x ou est atteint le minimum de J et fournir
; en cas de non unicité répondre 3.333 à la composante de
debug:#### quest=, absdeter=,
min rho, quadratic function
Compute in
the value of
where the function
gets its minimum;
the component of the point
where
with the function
at the point x=[],
with b=[], A=[], w=[]
debug:#### [], , , quest=
min rho, fonction quadratique
Calculer dans
la valeur de
où la fonction
atteint son minimum;
la composante du point
où
avec la fonction
au point x=[],
avec b=[], A=[], w=[]
debug:#### [], , , quest=
question 2 redact sauf les 2(nsansredac)
Enregistrez les numeros de vos exercices à rédiger:
et
Rédigez la solution des exercices
et
numexom1= numexo= numexo2= pg= exos 1 et 2 pas tires!
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